Existe alguma matriz inversível tal que ? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Queremos saber se existe uma matriz inversível tal que . Aqui, estamos lidando com matrizes e o conceito de inversibilidade. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser inversível e como isso se relaciona com a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversível. Uma matriz é chamada de inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. A matriz identidade funciona como o número 1 na multiplicação de números.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que significa . Isso quer dizer que quando multiplicamos a matriz por ela mesma, o resultado é a matriz nula, que tem todos os elementos iguais a 0:

Passo 4

Se é inversível, então sabemos que existe tal que . Vamos tentar multiplicar ambos os lados da equação por :
Simplificando, temos:
o que nos dá:

Passo 5

Mas aqui encontramos um problema: se , então não pode ser inversível. A única matriz que não é inversível é a matriz nula. Isso cria uma contradição, porque começamos assumindo que é inversível.

Resposta

Não existe nenhuma matriz inversível tal que . A condição levaria a ser a matriz nula, que não é inversível, o que contraria a hipótese inicial.

Exercícios relacionados

Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de .
.
Dadas as matrizes , determine .
Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(d)
Os vetores formam um ângulo , calcule o cosseno do ângulo entre os vetores e , sabendo que .