Existe alguma matriz inversível
tal que
? Justifique.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Queremos saber se existe uma matriz inversível
tal que
. Aqui, estamos lidando com matrizes e o conceito de inversibilidade. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser inversível e como isso se relaciona com a multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversível. Uma matriz
é chamada de inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. A matriz identidade funciona como o número 1 na multiplicação de números.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa
. Isso quer dizer que quando multiplicamos a matriz
por ela mesma, o resultado é a matriz nula, que tem todos os elementos iguais a 0:
Passo 4
Se
é inversível, então sabemos que existe
tal que
. Vamos tentar multiplicar ambos os lados da equação
por
:
Simplificando, temos:
o que nos dá:
Passo 5
Mas aqui encontramos um problema: se
, então
não pode ser inversível. A única matriz que não é inversível é a matriz nula. Isso cria uma contradição, porque começamos assumindo que
é inversível.
Resposta
Não existe nenhuma matriz inversível
tal que
. A condição
levaria a
ser a matriz nula, que não é inversível, o que contraria a hipótese inicial.