Existe alguma matriz inversível tal que ? Justifique.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Queremos saber se existe uma matriz inversível tal que . Aqui, estamos lidando com matrizes e o conceito de inversibilidade. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser inversível e como isso se relaciona com a multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversível. Uma matriz é chamada de inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. A matriz identidade funciona como o número 1 na multiplicação de números.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa . Isso quer dizer que quando multiplicamos a matriz por ela mesma, o resultado é a matriz nula, que tem todos os elementos iguais a 0:
Passo 4
Se é inversível, então sabemos que existe tal que . Vamos tentar multiplicar ambos os lados da equação por :
Simplificando, temos:
o que nos dá:
Passo 5
Mas aqui encontramos um problema: se , então não pode ser inversível. A única matriz que não é inversível é a matriz nula. Isso cria uma contradição, porque começamos assumindo que é inversível.
Resposta
Não existe nenhuma matriz inversível tal que . A condição levaria a ser a matriz nula, que não é inversível, o que contraria a hipótese inicial.