Os vetores u e v formam um ângulo alpha=pi6, calcule o cosseno do ângulo theta entre os vetores p=u+v e q=u-v, sabendo que |u|=raiz3 e |v|=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores, e , que formam um ângulo de (ou 30 graus). Queremos descobrir o cosseno do ângulo entre dois novos vetores: e . Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a cdot b = |a| |b| cos(theta) e |a| = raiza1^2 + a2^2 + dots + an^2 é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Também, a norma de um vetor é:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar p cdot q = (u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v :
p cdot q = |u|^2 - |v|^2
Sabendo que |u| = raiz3, |v| = 1 , isso simplifica para:
p cdot q = (raiz3)^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2
Vamos substituir os valores:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas de |p| = raiz|u|^2 + |v|^2 + 2 |u| |v| cos(alpha) e |p| = raiz3 + 1 + 2 times raiz3 times 1 times cos(pi6) .
Para |p| = raiz4 + 2 times raiz3 times raiz32 = raiz4 + 3 = raiz7 :
|q| = raiz|u|^2 + |v|^2 - 2 |u| |v| cos(alpha)
Substituindo:
|q| = raiz3 + 1 - 2 times raiz3 times 1 times raiz32 = raiz4 - 3 = raiz1 = 1
Sabendo que :
Para :
Substituindo:

Passo 5

Finalmente, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo cos(theta) = p cdot q|p| |q| entre cos(theta) = 2raiz7 times 1 = 2raiz7 = 2raiz77 e :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O cosseno do ângulo entre os vetores e é .

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