Calcular me para que a matriz seja inversa da matriz . e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo é encontrar os valores de e para que a matriz seja a inversa da matriz . Aqui estamos trabalhando com matrizes e inversas, então vamos precisar lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e estabelecer que , onde é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz , sua inversa é dada por:
onde é o determinante da matriz .
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa matriz :
O determinante de é:
Então, a inversa de será:
Passo 4
Sabemos que é a inversa de , ou seja, . Então, temos:
Isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar os elementos:
Passo 5
Agora, resolvemos essas equações para encontrar e .
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 6
Vamos agora resolver o sistema de equações obtido:
Vamos isolar na primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Temos duas soluções:
Passo 8
Vamos verificar qual valor de faz sentido no contexto do problema. Geralmente, consideramos valores reais, então ambas são válidas. Vamos calcular para cada caso usando .