Calcular me n para que a matriz B seja inversa da matriz A.
A=[ccm & -22 -2 & n] e B=[cc5 & 22 2 & 9]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo é encontrar os valores de e para que a matriz seja a inversa da matriz . Aqui estamos trabalhando com matrizes e inversas, então vamos precisar lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e estabelecer que , onde é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz a & b c & d , sua inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
onde é o determinante da matriz .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa matriz A = m & -22 -2 & n :
det(A) = m cdot n - (-22) cdot (-2) = mn - 44
O determinante de A^-1 = 1mn - 44 n & 22 2 & m é:
Então, a inversa de será:

Passo 4

Sabemos que B = 5 & 22 2 & 9 = 1mn - 44 n & 22 2 & m é a inversa de nmn - 44 = 5 e mmn - 44 = 9 , ou seja, . Então, temos:
Isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar os elementos:

Passo 5

Agora, resolvemos essas equações para encontrar nmn - 44 = 5 Rightarrow n = 5(mn - 44) Rightarrow n = 5mn - 220 e mmn - 44 = 9 Rightarrow m = 9(mn - 44) Rightarrow m = 9mn - 396 .
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 6

Vamos agora resolver o sistema de equações obtido:
n = 5mn - 220 m = 9mn - 396
Vamos isolar n = 5mn - 220 Rightarrow n - 5mn = -220 Rightarrow n(1 - 5m) = -220 Rightarrow n = 2205m - 1 na primeira equação:
m = 9m(2205m - 1) - 396
Agora, substituímos m = 1980m5m - 1 - 396 na segunda equação:
m(5m - 1) = 1980m - 396(5m - 1)
Simplificando:
5m^2 - m = 1980m - 1980m + 396
Multiplicando ambos os lados por 5m^2 - m - 396 = 0 para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática:
5m^2 - m - 396 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde m = 1 pm raiz1 + 792010 = 1 pm raiz792110 = 1 pm 8910 , m = 9010 = 9 ou m = -8810 = -8,8 , e :
Temos duas soluções:

Passo 8

Vamos verificar qual valor de n = 2205 cdot 9 - 1 = 22045 - 1 = 22044 = 5 faz sentido no contexto do problema. Geralmente, consideramos valores reais, então ambas são válidas. Vamos calcular n = 2205 cdot (-8,8) - 1 = 220-44 - 1 = 220-45 approx -4,89 para cada caso usando .
Para :
Para :

Resposta

Os valores que satisfazem a condição são:
m = 9 e n = 5

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