Calcular me para que a matriz seja inversa da matriz .
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo é encontrar os valores de e para que a matriz seja a inversa da matriz . Aqui estamos trabalhando com matrizes e inversas, então vamos precisar lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e estabelecer que , onde é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz , sua inversa é dada por:
onde é o determinante da matriz .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa matriz :
O determinante de é:
Então, a inversa de será:

Passo 4

Sabemos que é a inversa de , ou seja, . Então, temos:
Isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar os elementos:

Passo 5

Agora, resolvemos essas equações para encontrar e .
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 6

Vamos agora resolver o sistema de equações obtido:
Vamos isolar na primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Temos duas soluções:

Passo 8

Vamos verificar qual valor de faz sentido no contexto do problema. Geralmente, consideramos valores reais, então ambas são válidas. Vamos calcular para cada caso usando .
Para :
Para :

Resposta

Os valores que satisfazem a condição são:

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Os vetores formam um ângulo , calcule o cosseno do ângulo entre os vetores e , sabendo que .
Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(d)
Dada a matriz , determine .
Sejam , . Nos itens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
(k) ;