Calcular me
para que a matriz
seja inversa da matriz
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo é encontrar os valores de
e
para que a matriz
seja a inversa da matriz
. Aqui estamos trabalhando com matrizes e inversas, então vamos precisar lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e estabelecer que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz
, sua inversa é dada por:
onde
é o determinante da matriz
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa matriz
:
O determinante de
é:
Então, a inversa de
será:
Passo 4
Sabemos que
é a inversa de
, ou seja,
. Então, temos:
Isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar os elementos:
Passo 5
Agora, resolvemos essas equações para encontrar
e
.
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 6
Vamos agora resolver o sistema de equações obtido:
Vamos isolar
na primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Temos duas soluções:
Passo 8
Vamos verificar qual valor de
faz sentido no contexto do problema. Geralmente, consideramos valores reais, então ambas são válidas. Vamos calcular
para cada caso usando
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores que satisfazem a condição são: