Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o polinômio característico da matriz e depois encontrar as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz. Isso tudo faz parte da matéria de ** Álgebra Linear**, especificamente trabalhando com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do determinante de uma matriz e entender como montar o polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar o polinômio característico da matriz det(A - lambda I) = 0 . A fórmula para isso é:
Onde:
representa os autovalores que queremos encontrar.
é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 4 - lambda & -1 & 6 2 & 1 - lambda & 6 2 & -1 & 8 - lambda para uma matriz 3x3 é:
Então, subtraindo de :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(1 - lambda)(8 - lambda) - 6(-1)] - (-1)[2(8 - lambda) - 6(2)] + 6[2(-1) - (1 - lambda)(2)] . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado da seguinte forma: