Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz A.
(b) A=(rrr4 & -1 & 6 2 & 1 & 6 2 & -1 & 8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o polinômio característico da matriz e depois encontrar as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz. Isso tudo faz parte da matéria de ** Álgebra Linear**, especificamente trabalhando com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do determinante de uma matriz e entender como montar o polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar o polinômio característico da matriz det(A - lambda I) = 0 . A fórmula para isso é:
Onde:
  • representa os autovalores que queremos encontrar.
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 4 - lambda & -1 & 6 2 & 1 - lambda & 6 2 & -1 & 8 - lambda para uma matriz 3x3 é:
Então, subtraindo de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(1 - lambda)(8 - lambda) - 6(-1)] - (-1)[2(8 - lambda) - 6(2)] + 6[2(-1) - (1 - lambda)(2)] . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado da seguinte forma:
(1 - lambda)(8 - lambda) = lambda^2 - 9lambda + 8
Vamos resolver cada parte passo a passo:
  1. Calculando lambda^2 - 9lambda + 8 + 6 = lambda^2 - 9lambda + 14 :
(4 - lambda)(lambda^2 - 9lambda + 14) = -lambda^3 + 13lambda^2 - 50lambda + 56
  1. Subtraindo 1 times (16 - 2lambda - 12) = 4 - 2lambda :
6 times (-2 - 2 + 2lambda) = -24 + 12lambda
  1. Multiplicando por -lambda^3 + 13lambda^2 - 50lambda + 56 + 4 - 2lambda - 24 + 12lambda = -lambda^3 + 13lambda^2 - 40lambda + 36 :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Somando todas as partes:

Passo 5

O polinômio característico obtido é:
-lambda^3 + 13lambda^2 - 40lambda + 36 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por lambda^3 - 13lambda^2 + 40lambda - 36 = 0 para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz 2^3 - 13(2)^2 + 40(2) - 36 = 8 - 52 + 80 - 36 = 0 . Para resolver a equação cúbica lambda^3 - 13lambda^2 + 40lambda - 36 = (lambda - 2)(lambda^2 - 11lambda + 18) , vamos tentar encontrar as soluções por tentativa e erro.
Testando lambda = 11 pm raiz121 - 722 = 11 pm raiz492 = 11 pm 72 :
lambda1 = 11 + 72 = 9 lambda2 = 11 - 72 = 2
Então, é uma raiz.
Agora, vamos fatorar do polinômio:
Resolvendo a equação quadrática :
Portanto, as soluções são:

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

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