Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o polinômio característico da matriz e depois encontrar as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz. Isso tudo faz parte da matéria de ** Álgebra Linear**, especificamente trabalhando com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do determinante de uma matriz e entender como montar o polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar o polinômio característico da matriz . A fórmula para isso é:
Onde:
representa os autovalores que queremos encontrar.
é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Então, subtraindo de :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado da seguinte forma:
Vamos resolver cada parte passo a passo:
Calculando :
Subtraindo :
Multiplicando por :
Calculando :
Calculando :
Somando todas as partes:
Passo 5
O polinômio característico obtido é:
Podemos multiplicar todos os termos por para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz . Para resolver a equação cúbica , vamos tentar encontrar as soluções por tentativa e erro.