Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o polinômio característico da matriz e depois encontrar as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz. Isso tudo faz parte da matéria de ** Álgebra Linear**, especificamente trabalhando com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do determinante de uma matriz e entender como montar o polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar o polinômio característico da matriz . A fórmula para isso é:
Onde:
  • representa os autovalores que queremos encontrar.
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Então, subtraindo de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado da seguinte forma:
Vamos resolver cada parte passo a passo:
  1. Calculando :
  1. Subtraindo :
  1. Multiplicando por :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Somando todas as partes:

Passo 5

O polinômio característico obtido é:
Podemos multiplicar todos os termos por para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz . Para resolver a equação cúbica , vamos tentar encontrar as soluções por tentativa e erro.
Testando :
Então, é uma raiz.
Agora, vamos fatorar do polinômio:
Resolvendo a equação quadrática :
Portanto, as soluções são:

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

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Encontre as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto e possui vetor diretor .
Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
e
Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
©
Estabeleça equações reduzidas na variável para a reta que passa pelo ponto de interseção entre as retas
e é simultaneamente ortogonal a e .