Estabeleça equações reduzidas na variável x para a reta que passa pelo ponto de interseção entre as retas
r1: x-2=y+12=z3 e r2:l x=1-y z=2+2 y
e é simultaneamente ortogonal a r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar as equações reduzidas de uma reta que passa pelo ponto de interseção entre duas retas dadas, e , e que seja ortogonal a ambas. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações de retas no espaço, encontrar pontos de interseção e usar a condição de ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção entre as retas x - 21 = y + 12 = z3 e x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 3t . Vamos começar escrevendo as equações paramétricas de x = 1 - y e z = 2 + 2y e x = 1 - s, y = s, z = 2 + 2s .
A reta 2 + t = 1 - s está dada por:
-1 + 2t = s
Podemos representar 3t = 2 + 2s usando um parâmetro :
Para , as equações são:
Vamos expressar em termos de um parâmetro . Vamos escolher :
Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e :
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e que nos dão o ponto de interseção.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. t + (-1 + 2t) = -1 Rightarrow 3t - 1 = -1 Rightarrow 3t = 0 Rightarrow t = 0 x = 2 + 0 = 2, y = -1 + 2(0) = -1, z = 3(0) = 0 \quad (Equação 1)
  2. \quad (Equação 2)
Substituindo a Equação 2 na Equação 1:
Então, .
Agora, substituímos em :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a direção da reta que será ortogonal a x = 1 - s, y = s, z = 2 + 2s e v cdot v1 = 0 e v cdot v2 = 0 . Para isso, vamos usar os vetores diretores das retas a(1) + b(2) + c(3) = 0 (Equação 3) e a(-1) + b(1) + c(2) = 0 (Equação 4) .
O vetor diretor de é .
Para , observamos as equações paramétricas:
O vetor diretor de é .
A reta que procuramos deve ter um vetor diretor que é ortogonal tanto a quanto a . Isso significa que:
Vamos chamar . Então:
çã
çã
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 5

Resolvendo as Equações 3 e 4:
  1. (a - a) + (2b + b) + (3c + 2c) = 0 + 0 Rightarrow 3b + 5c = 0 Rightarrow b = -53c \quad (Equação 3)
  2. a + 2(-53c) + 3c = 0 Rightarrow a - 103c + 3c = 0 Rightarrow a - 103c + 93c = 0 Rightarrow a - 13c = 0 Rightarrow a = 13c \quad (Equação 4)
Vamos somar as duas equações para eliminar c = 3, a = 13(3) = 1, b = -53(3) = -5 :
Agora, substituímos na Equação 3:
Podemos escolher para simplificar (qualquer múltiplo funciona):
Então, o vetor diretor é .

Passo 6

Agora que temos o ponto de passagem x - 21 = y + 1-5 = z - 03 e o vetor diretor , podemos escrever as equações reduzidas da reta procurada.
As equações reduzidas são:

Resposta

As equações reduzidas da reta são:
x - 21 = y + 1-5 = z3

Exercícios relacionados