Estabeleça equações reduzidas na variável
para a reta que passa pelo ponto de interseção entre as retas
e é simultaneamente ortogonal a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar as equações reduzidas de uma reta que passa pelo ponto de interseção entre duas retas dadas,
e
, e que seja ortogonal a ambas. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações de retas no espaço, encontrar pontos de interseção e usar a condição de ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção entre as retas
e
. Vamos começar escrevendo as equações paramétricas de
e
.
A reta
está dada por:
Podemos representar
usando um parâmetro
:
Para
, as equações são:
Vamos expressar
em termos de um parâmetro
. Vamos escolher
:
Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de
e
:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de
e
que nos dão o ponto de interseção.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
-
\quad (Equação 1) -
\quad (Equação 2)
Substituindo a Equação 2 na Equação 1:
Então,
.
Agora, substituímos
em
:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a direção da reta que será ortogonal a
e
. Para isso, vamos usar os vetores diretores das retas
e
.
O vetor diretor de
é
.
Para
, observamos as equações paramétricas:
O vetor diretor de
é
.
A reta que procuramos deve ter um vetor diretor
que é ortogonal tanto a
quanto a
. Isso significa que:
Vamos chamar
. Então:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo as Equações 3 e 4:
-
\quad (Equação 3) -
\quad (Equação 4)
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na Equação 3:
Podemos escolher
para simplificar (qualquer múltiplo funciona):
Então, o vetor diretor é
.
Passo 6
Agora que temos o ponto de passagem
e o vetor diretor
, podemos escrever as equações reduzidas da reta procurada.
As equações reduzidas são:
Resposta
As equações reduzidas da reta são: