Estabeleça equações reduzidas na variável para a reta que passa pelo ponto de interseção entre as retas
e é simultaneamente ortogonal a e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar as equações reduzidas de uma reta que passa pelo ponto de interseção entre duas retas dadas, e , e que seja ortogonal a ambas. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações de retas no espaço, encontrar pontos de interseção e usar a condição de ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção entre as retas e . Vamos começar escrevendo as equações paramétricas de e .
A reta está dada por:
Podemos representar usando um parâmetro :
Para , as equações são:
Vamos expressar em termos de um parâmetro . Vamos escolher :
Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e :
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e que nos dão o ponto de interseção.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
\quad (Equação 1)
\quad (Equação 2)
Substituindo a Equação 2 na Equação 1:
Então, .
Agora, substituímos em :
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a direção da reta que será ortogonal a e . Para isso, vamos usar os vetores diretores das retas e .
O vetor diretor de é .
Para , observamos as equações paramétricas:
O vetor diretor de é .
A reta que procuramos deve ter um vetor diretor que é ortogonal tanto a quanto a . Isso significa que:
Vamos chamar . Então:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 5
Resolvendo as Equações 3 e 4:
\quad (Equação 3)
\quad (Equação 4)
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na Equação 3:
Podemos escolher para simplificar (qualquer múltiplo funciona):
Então, o vetor diretor é .
Passo 6
Agora que temos o ponto de passagem e o vetor diretor , podemos escrever as equações reduzidas da reta procurada.