Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
X=(1,1,1)+lambda(-1,0,-1)+mu(4,1,1) e X=(3,1,1)+lambda(1,-3,-1)+mu(3,1,0)

Passo 1

Então, a gente tem dois planos definidos por equações vetoriais e precisa verificar se eles são perpendiculares. Vamos trabalhar com geometria analítica e álgebra vetorial para resolver isso. Para isso, vamos precisar encontrar os vetores normais de cada plano e ver se eles são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada plano. No primeiro plano, os vetores são u1 = (-1, 0, -1) e v1 = (4, 1, 1). No segundo plano, os vetores são u2 = (1, -3, -1) e v2 = (3, 1, 0).

Passo 3

Para encontrar o vetor normal de cada plano, vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores de cada plano. O produto vetorial de u e v é dado por:
n = u times v = (uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx)

Passo 4

Calculando o vetor normal do primeiro plano:
n1 = u1 times v1 = i & j & k -1 & 0 & -1 4 & 1 & 1 = (0 cdot 1 - (-1) cdot 1)i - (-1 cdot 1 - (-1) cdot 4)j + (-1 cdot 1 - 0 cdot 4)k
n1 = (0 + 1)i - (-1 + 4)j + (-1 - 0)k = (1, -3, -1)

Passo 5

Agora, calculando o vetor normal do segundo plano:
n2 = u2 times v2 = i & j & k 1 & -3 & -1 3 & 1 & 0 = (-3 cdot 0 - (-1) cdot 1)i - (1 cdot 0 - (-1) cdot 3)j + (1 cdot 1 - (-3) cdot 3)k
n2 = (0 + 1)i - (0 + 3)j + (1 + 9)k = (1, -3, 10)

Passo 6

Para verificar se os planos são perpendiculares, precisamos ver se os vetores normais são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. O produto escalar é dado por:
n1 cdot n2 = n1xn2x + n1yn2y + n1zn2z

Passo 7

Calculando o produto escalar:
n1 cdot n2 = (1)(1) + (-3)(-3) + (-1)(10) = 1 + 9 - 10 = 0

Resposta

Como o produto escalar dos vetores normais é zero, os planos são perpendiculares.

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