Encontre as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto e possui vetor diretor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as equações reduzidas de uma reta no espaço. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre linhas no espaço tridimensional. Precisamos do ponto pelo qual a reta passa e do vetor diretor da reta para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor.
Passo 3
No nosso caso, o ponto A é (-1, 2, -1) e o vetor diretor v é (1, 0, -3). Vamos substituir esses valores na equação paramétrica:
x = -1 + 1t y = 2 + 0t z = -1 - 3t
Simplificando, temos:
x = -1 + t y = 2 z = -1 - 3t
Passo 4
Agora, para achar as equações reduzidas, a gente elimina o parâmetro t. Da equação de x, temos t = x + 1. Da equação de z, temos t = -1 - z3. Igualando essas duas expressões para t, temos:
x + 1 = -1 - z3
Isso nos dá uma equa��ão relacionando x e z.
Passo 5
Além disso, observamos que a equação de y é simplesmente y = 2, já que o coeficiente de t é zero no vetor diretor. Isso significa que o valor de y é constante ao longo da reta.