Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico da matriz e, depois, calcular as raízes desse polinômio, que são chamados de autovalores da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é definido pela expressão , onde:
  • é a matriz dada.
  • representa os autovalores que queremos encontrar.
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho de .
Então, o primeiro passo é montar a matriz .

Passo 3

Vamos construir a matriz . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Multiplicando por :
Agora, subtraímos da matriz :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante para uma matriz 3x3 é dado por:
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, calcule o termo principal:
Depois, o último termo:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Vamos expandir o primeiro produto:
Agora, somamos os demais termos:

Passo 7

Então, o polinômio característico é:
Podemos multiplicar por -1 para simplificar:

Passo 8

Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, ou seja, resolver :
Tentamos encontrar valores de que satisfaçam essa equação. Vamos testar :
Então, é uma raiz. Para encontrar as outras raízes, vamos dividir o polinômio por :
Agora, resolvemos:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Resposta

Os autovalores da matriz são , e .

Exercícios relacionados

Considerando a matriz , cujo termo geral é dado por , é correto afirmar que:
a)
b) A é inversível.
c)
d)
e)
Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz comuta com se . Determine todas as matrizes que comutam com
Sejam as matrizes A e C invertíveis. Determine a inversa dessas matrizes usando as operações por linha (o escalonamento).
Sejam as matrizes e , onde x e y são números reais e B é a matriz inversa de A. Qual o valor de xey.