Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz A.
© A=(rrr4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico da matriz e, depois, calcular as raízes desse polinômio, que são chamados de autovalores da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é definido pela expressão , onde:
  • é a matriz dada.
  • representa os autovalores que queremos encontrar.
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho de .
Então, o primeiro passo é montar a matriz .

Passo 3

Vamos construir a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade lambda I = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda para uma matriz 3x3 é:
A - lambda I = 4 - lambda & 0 & 1 -2 & 1 - lambda & 0 -2 & 0 & 1 - lambda
Multiplicando por :
Agora, subtraímos da matriz :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (a11)(a22a33 - a23a32) - (a12)(a21a33 - a23a31) + (a13)(a21a32 - a22a31) . O determinante para uma matriz 3x3 é dado por:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda) - (0)(0)] - 0 + 1[(-2)(0) - (1 - lambda)(-2)]
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, calcule o termo principal:
(4 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda)] = (4 - lambda)(1 - 2lambda + lambda^2)
Depois, o último termo:
1[0 - (1 - lambda)(-2)] = 1 times (2 - 2lambda) = 2 - 2lambda
Então, juntando tudo:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - 2lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda

Passo 6

Vamos expandir o primeiro produto:
(4 - lambda)(1 - 2lambda + lambda^2) = 4(1) + 4(-2lambda) + 4(lambda^2) - lambda(1) + lambda(2lambda) - lambda(lambda^2)
= 4 - 8lambda + 4lambda^2 - lambda + 2lambda^2 - lambda^3
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4
Agora, somamos os demais termos:
-lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 + 2 - 2lambda = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6

Passo 7

Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
Podemos multiplicar por -1 para simplificar:
p(lambda) = lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6

Passo 8

Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, ou seja, resolver lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0 :
1 - 6 + 11 - 6 = 0 (Verdade)
Tentamos encontrar valores de lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 div (lambda - 1) = lambda^2 - 5lambda + 6 que satisfaçam essa equação. Vamos testar lambda^2 - 5lambda + 6 = 0 :
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Então, lambda = 3 e lambda = 2 é uma raiz. Para encontrar as outras raízes, vamos dividir o polinômio por :
Agora, resolvemos:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Resposta

Os autovalores da matriz são , e .

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