Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico da matriz e, depois, calcular as raízes desse polinômio, que são chamados de autovalores da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é definido pela expressão , onde:
é a matriz dada.
representa os autovalores que queremos encontrar.
é a matriz identidade do mesmo tamanho de .
Então, o primeiro passo é montar a matriz .
Passo 3
Vamos construir a matriz . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Multiplicando por :
Agora, subtraímos da matriz :
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante para uma matriz 3x3 é dado por:
Aplicando isso na nossa matriz:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, calcule o termo principal:
Depois, o último termo:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Vamos expandir o primeiro produto:
Agora, somamos os demais termos:
Passo 7
Então, o polinômio característico é:
Podemos multiplicar por -1 para simplificar:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, ou seja, resolver :
Tentamos encontrar valores de que satisfaçam essa equação. Vamos testar :
Então, é uma raiz. Para encontrar as outras raízes, vamos dividir o polinômio por :