Considerando a matriz , cujo termo geral é dado por , é correto afirmar que:
a)
b) A é inversível.
c)
d)
e)

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma matriz de ordem onde cada elemento é dado por . Nosso objetivo aqui é verificar qual das afirmações de a) a e) está correta. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matriz transposta, matriz inversível, traço da matriz, representação trigonométrica dos elementos e somas das colunas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Opção a)
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz transposta . É a matriz que se obtém trocando as linhas pelas colunas de . Agora, se , isso significa que é uma matriz anti-simétrica.
Vamos construir a matriz :
Agora, vamos calcular :
Comparando com , vemos que elas não são iguais:
Então, a opção a) está errada.

Passo 3

Opção b) é inversível.
Para verificar se é inversível, precisamos verificar se o determinante de é diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Como , a matriz não é inversível. Portanto, a opção b) está errada.

Passo 4

Opção c)
O termo é , e .
Somando:
Portanto, a opção c) está errada.

Passo 5

Opção d)
Vamos verificar se .
Sabemos que para qualquer inteiro .
Portanto:
O que coincide exatamente com . Então, a opção d) está certa.

Passo 6

Opção e)
Vamos calcular a soma dos elementos da primeira coluna:
Portanto, a opção e) está errada.

Resposta

A única afirmação correta é a opção d).

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Sejam e retas dadas por:
e
Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal a e .
Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
©
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