Considerando a matriz A3 times 3, cujo termo geral é dado por ax y=(-1)^x+y, é correto afirmar que:
a) A=-A^T
b) A é inversível.
c) a11+a22+a33=0
d) ax y=cos ((x+y) pi)
e) a11+a21+a31=0

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma matriz de ordem onde cada elemento é dado por . Nosso objetivo aqui é verificar qual das afirmações de a) a e) está correta. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matriz transposta, matriz inversível, traço da matriz, representação trigonométrica dos elementos e somas das colunas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Opção a) A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 = (-1)^1+1 & (-1)^1+2 & (-1)^1+3 (-1)^2+1 & (-1)^2+2 & (-1)^2+3 (-1)^3+1 & (-1)^3+2 & (-1)^3+3 = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 1
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz transposta A^T = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 , -A^T = -1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 . É a matriz que se obtém trocando as linhas pelas colunas de A neq -A^T . Agora, se , isso significa que é uma matriz anti-simétrica.
Vamos construir a matriz :
Agora, vamos calcular :
Comparando com , vemos que elas não são iguais:
Então, a opção a) está errada.

Passo 3

Opção b) det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - (-1) cdot (-1 cdot 1 - (-1) cdot 1) + 1 cdot ((-1) cdot (-1) - 1 cdot 1) é inversível.
Para verificar se = 1 cdot (1 - 1) - (-1) cdot (-1 - (-1)) + 1 cdot (1 - 1) é inversível, precisamos verificar se o determinante de = 1 cdot 0 - (-1) cdot 0 + 1 cdot 0 = 0 é diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Como , a matriz não é inversível. Portanto, a opção b) está errada.

Passo 4

Opção c) a11 + a22 + a33 = 1 + 1 + 1 = 3 neq 0
O termo é , e .
Somando:
Portanto, a opção c) está errada.

Passo 5

Opção d) cos((x+y)pi) = (-1)^x+y
Vamos verificar se .
Sabemos que para qualquer inteiro .
Portanto:
O que coincide exatamente com . Então, a opção d) está certa.

Passo 6

Opção e) a11 = 1, a21 = -1, a31 = 1
Vamos calcular a soma dos elementos da primeira coluna:
a11 + a21 + a31 = 1 + (-1) + 1 = 1 neq 0
Portanto, a opção e) está errada.

Resposta

A única afirmação correta é a opção d).

Exercícios relacionados