Considerando a matriz , cujo termo geral é dado por , é correto afirmar que:
a)
b) A é inversível.
c)
d)
e)
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma matriz de ordem onde cada elemento é dado por . Nosso objetivo aqui é verificar qual das afirmações de a) a e) está correta. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matriz transposta, matriz inversível, traço da matriz, representação trigonométrica dos elementos e somas das colunas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Opção a)
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz transposta . É a matriz que se obtém trocando as linhas pelas colunas de . Agora, se , isso significa que é uma matriz anti-simétrica.
Vamos construir a matriz :
Agora, vamos calcular :
Comparando com , vemos que elas não são iguais:
Então, a opção a) está errada.
Passo 3
Opção b) é inversível.
Para verificar se é inversível, precisamos verificar se o determinante de é diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Como , a matriz não é inversível. Portanto, a opção b) está errada.
Passo 4
Opção c)
O termo é , e .
Somando:
Portanto, a opção c) está errada.
Passo 5
Opção d)
Vamos verificar se .
Sabemos que para qualquer inteiro .
Portanto:
O que coincide exatamente com . Então, a opção d) está certa.
Passo 6
Opção e)
Vamos calcular a soma dos elementos da primeira coluna: