Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz X comuta com A se A X=X A. Determine todas as matrizes que comutam com A=[ll1 & 0 0 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz A = 1 & 0 0 & 3. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente lidando com matrizes e suas propriedades de comutação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas matrizes comutarem, ou seja, que A X = X A.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica X = a & b c & d, onde a, b, c e d são números reais que queremos descobrir. Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c e d que satisfazem a equação A X = X A.

Passo 3

Vamos calcular o produto A X:
A X = 1 & 0 0 & 3 a & b c & d = 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d 0 cdot a + 3 cdot c & 0 cdot b + 3 cdot d = a & b 3c & 3d

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto X A:
X A = a & b c & d 1 & 0 0 & 3 = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot 0 + b cdot 3 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot 0 + d cdot 3 = a & 3b c & 3d

Passo 5

Para que as matrizes comutem, os produtos A X e X A devem ser iguais. Assim, igualamos as duas matrizes resultantes:
a & b 3c & 3d = a & 3b c & 3d
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a = a b = 3b 3c = c 3d = 3d

Passo 6

Vamos resolver cada equação:
  1. a = a não nos dá nenhuma informação adicional.
  2. b = 3b implica que b - 3b = 0 Rightarrow -2b = 0 Rightarrow b = 0.
  3. 3c = c implica que 3c - c = 0 Rightarrow 2c = 0 Rightarrow c = 0.
  4. 3d = 3d também não nos dá nenhuma informação adicional.

Passo 7

Descobrimos que b = 0 e c = 0, mas a e d podem ser quaisquer números reais. Portanto, as matrizes que comutam com A são todas as matrizes diagonais, ou seja:
X = a & 0 0 & d
onde a e d são números reais quaisquer.

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são as matrizes diagonais da forma a & 0 0 & d, onde a e d são números reais quaisquer.

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