Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz comuta com se . Determine todas as matrizes que comutam com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente lidando com matrizes e suas propriedades de comutação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas matrizes comutarem, ou seja, que .
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica , onde , , e são números reais que queremos descobrir. Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem a equação .
Passo 3
Vamos calcular o produto :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto :
Passo 5
Para que as matrizes comutem, os produtos e devem ser iguais. Assim, igualamos as duas matrizes resultantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver cada equação:
a = a não nos dá nenhuma informação adicional.
b = 3b implica que b - 3b = 0 Rightarrow -2b = 0 Rightarrow b = 0.
3c = c implica que 3c - c = 0 Rightarrow 2c = 0 Rightarrow c = 0.
3d = 3d também não nos dá nenhuma informação adicional.
Passo 7
Descobrimos que b = 0 e c = 0, mas a e d podem ser quaisquer números reais. Portanto, as matrizes que comutam com A são todas as matrizes diagonais, ou seja:
X = a & 0 0 & d
onde a e d são números reais quaisquer.
Resposta
Todas as matrizes que comutam com A são as matrizes diagonais da forma a & 0 0 & d, onde a e d são números reais quaisquer.