Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz comuta com se . Determine todas as matrizes que comutam com

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente lidando com matrizes e suas propriedades de comutação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas matrizes comutarem, ou seja, que .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica , onde , , e são números reais que queremos descobrir. Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos calcular o produto :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto :

Passo 5

Para que as matrizes comutem, os produtos e devem ser iguais. Assim, igualamos as duas matrizes resultantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver cada equação:
  1. não nos dá nenhuma informação adicional.
  2. implica que .
  3. implica que .
  4. também não nos dá nenhuma informação adicional.

Passo 7

Descobrimos que e , mas e podem ser quaisquer números reais. Portanto, as matrizes que comutam com são todas as matrizes diagonais, ou seja:
onde e são números reais quaisquer.

Resposta

Todas as matrizes que comutam com são as matrizes diagonais da forma , onde e são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados

Sejam e retas dadas por:
e
Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal a e .
Considerando a matriz , cujo termo geral é dado por , é correto afirmar que:
a)
b) A é inversível.
c)
d)
e)
Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
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