Sejam as matrizes e , onde x e y são números reais e B é a matriz inversa de A. Qual o valor de xey.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve matrizes e suas inversas. A gente tem duas matrizes, e , e sabe que é a inversa de . A questão pede para encontrar o valor de . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a matriz inversa de uma matriz 2x2 e igualar com a matriz para descobrir os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a inversa de uma matriz 2x2. Se tivermos uma matriz , a inversa dela, , é dada por:
onde é o determinante da matriz e é calculado por .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula na matriz :
Primeiro, calculamos o determinante de :

Passo 4

Agora, usamos o determinante para encontrar a inversa de :

Passo 5

Sabemos que é a inversa de , então:
Comparando com a matriz dada no enunciado:
Podemos igualar os elementos correspondentes:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes A e C invertíveis. Determine a inversa dessas matrizes usando as operações por linha (o escalonamento).
Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
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Um projeto de pesquisa sobre dietas envolve adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz:
Adultos Crianças
Masculino 80 120
Feminino 100 200
O número diário de gramas de proteínas, de gorduras e de carboidratos consumidos por cada criança e cada adulto é dado pela matriz:
Proteínas Gorduras Carboidratos
Adultos 20 20 20
Crianças 10 20 30
A partir dessas informações, utilize as operações com matrizes para julgar os itens, conforme os cálculos realizados pela dados das tabelas:
( ) 6000 g de proteinas são consumidos diariamente por adultos e crianças do sexo masculino.
( ) A quantidade de gorduras consumida diariamente por adultos e crianças do sexo masculino é menor que a consumida por adultos e crianças do sexo feminino.
( ) As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente um total de 13200 g de carboidratos.
Calcule os determinantes de: pela Regra de Sarrus e Regra de Chió.