Sejam as matrizes A e C invertíveis. Determine a inversa dessas matrizes usando as operações por linha (o escalonamento).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as inversas das matrizes e usando operações por linha, que também chamamos de escalonamento. Para isso, vamos precisar montar matrizes aumentadas com e junto com as matrizes identidade correspondentes e aplicar operações de linha para transformar as primeiras em identidades. Conforme fazemos isso, as identidades vão se transformando nas inversas das matrizes originais.

Passo 2

Vamos começar invertendo a matriz . Primeiro, montamos a matriz aumentada , onde é a matriz identidade de ordem 3:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda ( ) em uma matriz identidade usando operações de linha. Para isso, vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha.
Primeiro, vamos tornar o elemento igual a 1 dividindo toda a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo de (que estão na segunda e terceira linhas).
Para a segunda linha ( ), somamos a primeira linha multiplicada por 1:
Para a terceira linha ( ), subtraímos a primeira linha multiplicada por 2:

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo pivô, que é . Vamos torná-lo 1 dividindo toda a segunda linha por 1.5:

Passo 6

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de .
Para a primeira linha ( ), subtraímos 2.5 vezes a segunda linha:
Para a terceira linha ( ), somamos a segunda linha:

Passo 7

Agora, vamos tratar do terceiro pivô . Para torná-lo 1, multiplicamos a terceira linha por -3:

Passo 8

Vamos eliminar os elementos acima do terceiro pivô.
Para a segunda linha ( ), subtraímos vezes a terceira linha:
Para a primeira linha ( ), somamos vezes a terceira linha:
Simplificando:

Passo 9

Agora que a parte esquerda é a matriz identidade, a parte da direita é a inversa de . Então, temos:

Passo 10

Agora, vamos inverter a matriz . Vamos montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade de ordem 4:

Passo 11

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda ( ) em uma matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira coluna.
Já temos , que é bom. Vamos eliminar os elementos abaixo dele.
Para a segunda linha ( ), subtraímos 2 vezes a primeira linha:
Para a quarta linha ( ), subtraímos a primeira linha:

Passo 12

Agora, vamos focar no segundo pivô . Vamos torná-lo 1 dividindo toda a segunda linha por 7:

Passo 13

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de .
Para a primeira linha ( ), somamos a segunda linha:
Para a terceira linha ( ), subtraímos a segunda linha:
Para a quarta linha ( ), subtraímos 5 vezes a segunda linha:

Passo 14

Agora, vamos focar no terceiro pivô . Vamos torná-lo 1 multiplicando a terceira linha por :

Passo 15

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de .
Para a primeira linha ( ), subtraímos vezes a terceira linha:
Simplificando:
Para a segunda linha ( ), subtraímos vezes a terceira linha:
Simplificando:
Para a quarta linha ( ), subtraímos vezes a terceira linha:
Simplificando:

Passo 16

Agora, vamos focar no quarto pivô . Vamos torná-lo 1 dividindo a quarta linha por -2:

Passo 17

Vamos eliminar os elementos acima do quarto pivô.
Para a primeira linha ( ), subtraímos 3 vezes a quarta linha:
Simplificando:

Passo 18

Agora, verificamos que todas as colunas da parte da esquerda são identidades. Portanto, a parte da direita é a inversa de . Então, temos:

Resposta

As inversas das matrizes são:
e

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Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
©
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a)
b) A é inversível.
c)
d)
e)
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Adultos Crianças
Masculino 80 120
Feminino 100 200
O número diário de gramas de proteínas, de gorduras e de carboidratos consumidos por cada criança e cada adulto é dado pela matriz:
Proteínas Gorduras Carboidratos
Adultos 20 20 20
Crianças 10 20 30
A partir dessas informações, utilize as operações com matrizes para julgar os itens, conforme os cálculos realizados pela dados das tabelas:
( ) 6000 g de proteinas são consumidos diariamente por adultos e crianças do sexo masculino.
( ) A quantidade de gorduras consumida diariamente por adultos e crianças do sexo masculino é menor que a consumida por adultos e crianças do sexo feminino.
( ) As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente um total de 13200 g de carboidratos.