Sejam as matrizes A e C invertíveis. Determine a inversa dessas matrizes usando as operações por linha (o escalonamento).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as inversas das matrizes e usando operações por linha, que também chamamos de escalonamento. Para isso, vamos precisar montar matrizes aumentadas com e junto com as matrizes identidade correspondentes e aplicar operações de linha para transformar as primeiras em identidades. Conforme fazemos isso, as identidades vão se transformando nas inversas das matrizes originais.
Passo 2
Vamos começar invertendo a matriz . Primeiro, montamos a matriz aumentada , onde é a matriz identidade de ordem 3:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda () em uma matriz identidade usando operações de linha. Para isso, vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha.
Primeiro, vamos tornar o elemento igual a 1 dividindo toda a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo de (que estão na segunda e terceira linhas).
Para a segunda linha (), somamos a primeira linha multiplicada por 1:
Para a terceira linha (), subtraímos a primeira linha multiplicada por 2:
Passo 5
Agora, vamos focar no segundo pivô, que é . Vamos torná-lo 1 dividindo toda a segunda linha por 1.5:
Passo 6
Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de .
Para a primeira linha (), subtraímos 2.5 vezes a segunda linha:
Para a terceira linha (), somamos a segunda linha:
Passo 7
Agora, vamos tratar do terceiro pivô . Para torná-lo 1, multiplicamos a terceira linha por -3:
Passo 8
Vamos eliminar os elementos acima do terceiro pivô.
Para a segunda linha (), subtraímos vezes a terceira linha:
Para a primeira linha (), somamos vezes a terceira linha:
Simplificando:
Passo 9
Agora que a parte esquerda é a matriz identidade, a parte da direita é a inversa de . Então, temos:
Passo 10
Agora, vamos inverter a matriz . Vamos montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade de ordem 4:
Passo 11
Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda () em uma matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira coluna.
Já temos , que é bom. Vamos eliminar os elementos abaixo dele.
Para a segunda linha (), subtraímos 2 vezes a primeira linha:
Para a quarta linha (), subtraímos a primeira linha:
Passo 12
Agora, vamos focar no segundo pivô . Vamos torná-lo 1 dividindo toda a segunda linha por 7:
Passo 13
Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de .
Para a primeira linha (), somamos a segunda linha:
Para a terceira linha (), subtraímos a segunda linha:
Para a quarta linha (), subtraímos 5 vezes a segunda linha:
Passo 14
Agora, vamos focar no terceiro pivô . Vamos torná-lo 1 multiplicando a terceira linha por :
Passo 15
Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de .
Para a primeira linha (), subtraímos vezes a terceira linha:
Simplificando:
Para a segunda linha (), subtraímos vezes a terceira linha:
Simplificando:
Para a quarta linha (), subtraímos vezes a terceira linha:
Simplificando:
Passo 16
Agora, vamos focar no quarto pivô . Vamos torná-lo 1 dividindo a quarta linha por -2:
Passo 17
Vamos eliminar os elementos acima do quarto pivô.
Para a primeira linha (), subtraímos 3 vezes a quarta linha:
Simplificando:
Passo 18
Agora, verificamos que todas as colunas da parte da esquerda são identidades. Portanto, a parte da direita é a inversa de . Então, temos: