Verdadeiro ou falso? Justifique!
( ) Um vetor é um segmento de reta orientado (seta).
( ) Um vetor é uma ênupla de números reais.
( ) Um vetor é um elemento qualquer num espaço vetorial.
( ) O conjunto dos números racionais é um espaço vetorial real.
( ) O conjunto unitário , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
( ) com as operações usuais não é espaço vetorial real;
( ) e são espaços vetoriais;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos várias afirmações sobre vetores e espaços vetoriais, e precisamos dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando nosso veredito. Para isso, vamos precisar entender bem o que é um vetor, o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que definem esses conceitos. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Afirmação 1:Um vetor é um segmento de reta orientado (seta).
Verdadeiro.
Um vetor pode ser representado como um segmento de reta com uma direção específica, ou seja, uma seta. Essa representação geométrica ajuda a visualizar tanto a magnitude (comprimento da seta) quanto a direção do vetor.
Passo 3
Afirmação 2:Um vetor é uma ênupla de números reais.
Verdadeiro.
Na álgebra linear, vetores são frequentemente representados como tuplas (ou ênuplas) de números reais. Por exemplo, em , um vetor pode ser escrito como , onde e são números reais.
Passo 4
Afirmação 3:Um vetor é um elemento qualquer num espaço vetorial.
Verdadeiro.
Um vetor pode ser qualquer elemento dentro de um espaço vetorial. Isso significa que, além de representações numéricas, vetores podem pertencer a conjuntos mais abstratos desde que cumpram as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 5
Afirmação 4:O conjunto dos números racionais é um espaço vetorial real.
Falso.
Para que um conjunto seja um espaço vetorial sobre , ele precisa estar fechado sob a multiplicação por qualquer número real. No caso de , se multiplicarmos um número racional por um número irracional (que também é real), o resultado geralmente não será racional, saindo de . Portanto, não satisfaz todas as condições para ser um espaço vetorial sobre .
Passo 6
Afirmação 5:O conjunto unitário , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
Verdadeiro.
O conjunto que contém apenas o vetor zero, , é chamado de espaço vetorial trivial. Ele satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, pois a única operação possível é e para qualquer escalar .
Passo 7
Afirmação 6: com as operações usuais não é espaço vetorial real.
Verdadeiro.
Para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa ter um vetor zero, mas não inclui o zero. Além disso, não é fechado sob a multiplicação por escalares negativos, pois multiplicar um número positivo por um escalar negativo resultaria em um número negativo, que não está em . Portanto, não é um espaço vetorial.
Passo 8
Afirmação 7: e são espaços vetoriais.
Verdadeiro.
Tanto (o conjunto dos números reais) quanto (o plano cartesiano) satisfazem todas as axiomas de um espaço vetorial sobre . Eles são fechados sob adição e multiplicação por escalares, possuem um vetor zero, e todas as demais propriedades necessárias.