Verdadeiro ou falso? Justifique!
( ) Um vetor é um segmento de reta orientado (seta).
( ) Um vetor é uma ênupla de números reais.
( ) Um vetor é um elemento qualquer num espaço vetorial.
( ) O conjunto dos números racionais é um espaço vetorial real.
( ) O conjunto unitário , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
( ) com as operações usuais não é espaço vetorial real;
( ) e são espaços vetoriais;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos várias afirmações sobre vetores e espaços vetoriais, e precisamos dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando nosso veredito. Para isso, vamos precisar entender bem o que é um vetor, o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que definem esses conceitos. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Afirmação 1: Um vetor é um segmento de reta orientado (seta).
Verdadeiro.
Um vetor pode ser representado como um segmento de reta com uma direção específica, ou seja, uma seta. Essa representação geométrica ajuda a visualizar tanto a magnitude (comprimento da seta) quanto a direção do vetor.

Passo 3

Afirmação 2: Um vetor é uma ênupla de números reais.
Verdadeiro.
Na álgebra linear, vetores são frequentemente representados como tuplas (ou ênuplas) de números reais. Por exemplo, em , um vetor pode ser escrito como , onde e são números reais.

Passo 4

Afirmação 3: Um vetor é um elemento qualquer num espaço vetorial.
Verdadeiro.
Um vetor pode ser qualquer elemento dentro de um espaço vetorial. Isso significa que, além de representações numéricas, vetores podem pertencer a conjuntos mais abstratos desde que cumpram as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 5

Afirmação 4: O conjunto dos números racionais é um espaço vetorial real.
Falso.
Para que um conjunto seja um espaço vetorial sobre , ele precisa estar fechado sob a multiplicação por qualquer número real. No caso de , se multiplicarmos um número racional por um número irracional (que também é real), o resultado geralmente não será racional, saindo de . Portanto, não satisfaz todas as condições para ser um espaço vetorial sobre .

Passo 6

Afirmação 5: O conjunto unitário , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
Verdadeiro.
O conjunto que contém apenas o vetor zero, , é chamado de espaço vetorial trivial. Ele satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, pois a única operação possível é e para qualquer escalar .

Passo 7

Afirmação 6: com as operações usuais não é espaço vetorial real.
Verdadeiro.
Para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa ter um vetor zero, mas não inclui o zero. Além disso, não é fechado sob a multiplicação por escalares negativos, pois multiplicar um número positivo por um escalar negativo resultaria em um número negativo, que não está em . Portanto, não é um espaço vetorial.

Passo 8

Afirmação 7: e são espaços vetoriais.
Verdadeiro.
Tanto (o conjunto dos números reais) quanto (o plano cartesiano) satisfazem todas as axiomas de um espaço vetorial sobre . Eles são fechados sob adição e multiplicação por escalares, possuem um vetor zero, e todas as demais propriedades necessárias.

Resposta

  1. Verdadeiro.
  2. Verdadeiro.
  3. Verdadeiro.
  4. Falso.
  5. Verdadeiro.
  6. Verdadeiro.
  7. Verdadeiro.

Exercícios relacionados

Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
f.
Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
c) .
Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
g.
Dados os espaços vetoriais reais a seguir, diga em cada caso, se é subespaço de
(b) e .