Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é transformar a matriz dada em uma matriz equivalente que esteja na forma escada reduzida por linhas. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre eliminação de Gauss e redução de matrizes. Para conseguir isso, vamos usar operações elementares nas linhas da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente vai trabalhar:
A ideia é deixar zeros abaixo dos pivôs (os primeiros números não zero de cada linha) e depois garantir que cada pivô seja 1, seguindo as regras da forma escada reduzida por linhas.

Passo 3

Primeiro, vamos trocar a primeira linha com uma linha que tenha um primeiro elemento diferente de zero para facilitar. Vamos trocar a primeira linha com a segunda linha:

Passo 4

Agora, queremos que o primeiro elemento da primeira linha seja 1. Para isso, vamos dividir toda a primeira linha por 4:

Passo 5

Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1). Para isso:
  • Na segunda linha, adicionamos 2 vezes a primeira linha.
  • Na terceira linha, adicionamos 3 vezes a primeira linha.
  • Na quarta linha, adicionamos 12 vezes a primeira linha.
Fazendo isso:

Passo 6

Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na posição (2,2). Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por -1 para que o pivô seja positivo:

Passo 7

Vamos zerar os elementos abaixo e acima do segundo pivô (1 na posição (2,2)):
  • Na terceira linha, adicionamos 2 vezes a segunda linha.
  • Na quarta linha, subtraímos vez a segunda linha.
  • A primeira linha já está zerada acima do segundo pivô.
Fazendo isso:

Passo 8

Agora, vamos para o terceiro pivô, que está na posição (3,3). Primeiro, vamos dividir a terceira linha por 11 para que o pivô seja 1:

Passo 9

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do terceiro pivô:
  • Na segunda linha, adicionamos vezes a terceira linha.
  • Na quarta linha, subtraímos vez a terceira linha.
Fazendo isso:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, vamos normalizar o quarto pivô dividindo a quarta linha por :
Simplificando a última entrada:
Então, a matriz na forma escada reduzida por linhas é:

Resposta

A matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas de é:

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g) . com as operações usuais.
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b.
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d) Mostre que o Axioma M4 falha e que portanto, não é um espaço vetorial com as operações dadas.
Encontre uma base para e nas seguintes transformaçōes lineares:
dada por ;