Encontre uma base para Im(T) e N(T) nas seguintes transformaçōes lineares:
T: R^3 longrightarrow R^3 dada por T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x+y-2 z);

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base para a imagem ( Im(T)) e o núcleo ( N(T)) da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 definida por T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x+y-2 z). Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, espaços vetoriais, imagem e núcleo de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz A. Cada coluna de A corresponde à imagem dos vetores da base canônica de R^3.
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2

Passo 3

Para encontrar a imagem de T, precisamos determinar o espaço coluna da matriz A. Isso significa encontrar quais colunas de A são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz a forma escalonada.
1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2
Subtraindo a primeira linha da terceira linha:
1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1
Agora, somamos a segunda linha à terceira linha:
1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0

Passo 4

Observamos que as duas primeiras colunas são pivôs, o que significa que elas são linearmente independentes. Portanto, os vetores:
1 0 1 e 2 1 1
formam uma base para Im(T).

Passo 5

Agora, vamos encontrar o núcleo de T, ou seja, todos os vetores (x, y, z) que satisfazem T(x, y, z) = (0, 0, 0). Isso corresponde ao sistema de equações:
x + 2y - z = 0 y + z = 0 x + y - 2z = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema, da segunda equação temos z = -y. Substituindo z = -y na primeira equação:
x + 2y - (-y) = x + 3y = 0 Rightarrow x = -3y
Substituindo x = -3y e z = -y na terceira equação:
-3y + y - 2(-y) = -3y + y + 2y = 0 Rightarrow 0 = 0
Isso confirma que as soluções são parametrizadas por y.

Passo 7

Expressando as variáveis em termos de y:
x = -3y, z = -y
Podemos escrever o vetor solução como:
(y) -3 1 -1

Resposta

Uma base para Im(T) é 1 0 1, 2 1 1 e uma base para N(T) é -3 1 -1 .

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