Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
g) . com as operações usuais.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e checar se todos eles são satisfeitos por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades (axiomas) em relação às operações de adição e multiplicação por escalar. Existem 8 axiomas principais que precisamos verificar.

Passo 3

Vamos listar os axiomas e verificar um por um se eles são satisfeitos por :
  1. Fechamento sob adição: Se pegar dois vetores em e somá-los, o resultado também deve estar em .
    Seja e em . Mas, como e , temos . Então, também está em . Esse axioma é satisfeito.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegar um vetor em e multiplicá-lo por um escalar, o resultado também deve estar em .
    Seja em e um escalar. . Para que esteja em , precisamos que . Porém, se for negativo e , então , o que não pertence a . Logo, esse axioma não é satisfeito.

Passo 4

Como já encontramos um axioma que não é satisfeito, podemos concluir que não é um espaço vetorial. Especificamente, a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar não é atendida quando o escalar é negativo.

Resposta

O conjunto com as operações usuais não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma de fechamento sob multiplicação por escalar quando o escalar é negativo.

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