Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
g) . com as operações usuais.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e checar se todos eles são satisfeitos por .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades (axiomas) em relação às operações de adição e multiplicação por escalar. Existem 8 axiomas principais que precisamos verificar.
Passo 3
Vamos listar os axiomas e verificar um por um se eles são satisfeitos por :
Fechamento sob adição: Se pegar dois vetores em e somá-los, o resultado também deve estar em .
Seja e em . Mas, como e , temos . Então, também está em . Esse axioma é satisfeito.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegar um vetor em e multiplicá-lo por um escalar, o resultado também deve estar em .
Seja em e um escalar. . Para que esteja em , precisamos que . Porém, se for negativo e , então , o que não pertence a . Logo, esse axioma não é satisfeito.
Passo 4
Como já encontramos um axioma que não é satisfeito, podemos concluir que não é um espaço vetorial. Especificamente, a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar não é atendida quando o escalar é negativo.
Resposta
O conjunto com as operações usuais não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma de fechamento sob multiplicação por escalar quando o escalar é negativo.