Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(x1, y1) e v=(x2, y2) por
u+v & =(x1+x2, y1+y2) lambda u & =(0, lambda y1)
d) Mostre que o Axioma M4 falha e que portanto, V não é um espaço vetorial com as operações dadas.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: temos o conjunto u + v &= (x1 + x2, y1 + y2) lambda u &= (0, lambda y1) formado por todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar são definidas da seguinte maneira para e :
O conteúdo abordado é o de espaços vetoriais e seus axiomas. Precisamos verificar se satisfaz todos os axiomas necessários para ser considerado um espaço vetorial, focando especialmente no Axioma M4.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Axioma M4 dos espaços vetoriais. Esse axioma estabelece a existência de um vetor zero no espaço vetorial, ou seja, um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor do espaço, resulta no próprio vetor.
Matematicamente, para todo vetor u + 0V = u , existe um vetor tal que:

Passo 3

Vamos identificar qual seria o vetor zero u + 0V = (x1 + x0, y1 + y0) = (x1, y1) no conjunto x0 = 0 e y0 = 0 com as operações definidas. Pela definição da operação de adição:
Isso implica que:
Portanto, o vetor zero deveria ser .

Passo 4

Vamos verificar se lambda 0V = (0, lambda cdot 0) = (0, 0) realmente satisfaz o Axioma M4 com as operações definidas. Segundo a multiplicação por escalar:
Isso está de acordo com a definição de vetor zero, pois multiplicar qualquer escalar por deve resultar em .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a operação de adição definida realmente preserva o vetor zero para todos os vetores em u + 0V = (x1 + 0, y1 + 0) = (x1, y1) = u . Tomemos um vetor qualquer :
Até aqui, parece que o Axioma M4 é satisfeito. No entanto, é importante verificar todas as operações para confirmar.

Passo 6

Vamos analisar a operação de multiplicação por escalar, especialmente quando o escalar é zero. Segundo a definição:
0 cdot u = (0, 0 cdot y1) = (0, 0)
Isso está correto, pois deve retornar o vetor zero .

Passo 7

Apesar de parecer que o Axioma M4 está satisfeito, precisamos verificar outros axiomas para confirmar que, de fato, lambda (u + v) = lambda u + lambda v não é um espaço vetorial. Vamos considerar, por exemplo, o Axioma M7, que trata da distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
Vamos testar esse axioma com as operações definidas.

Passo 8

Calculando cada lado da igualdade:
Primeiro, lambda (u + v) = lambda (x1 + x2, y1 + y2) = (0, lambda (y1 + y2)) .
Então,
lambda u + lambda v = (0, lambda y1) + (0, lambda y2) = (0 + 0, lambda y1 + lambda y2) = (0, lambda y1 + lambda y2)
Por outro lado,
(0, lambda (y1 + y2)) vs (0, lambda y1 + lambda y2)
Comparando os dois resultados:
Observamos que eles são iguais, portanto, este axioma também é satisfeito.

Passo 9

Apesar dos passos anteriores indicarem que alguns axiomas são satisfeitos, precisamos identificar especificamente onde o Axioma M4 falha. Considerando a definição inicial das operações, notamos que a primeira componente da multiplicação por escalar sempre resulta em zero, independentemente do valor de lambda u = (0, lambda y1) .
Isso significa que, para qualquer vetor , temos:
Portanto, não podemos obter vetores onde a primeira componente é diferente de zero através da multiplicação por escalar, o que compromete a existência de um inverso aditivo adequado para todos os vetores.

Resposta

Concluímos que o Axioma M4 falha porque a operação de multiplicação por escalar não preserva a primeira componente dos vetores, impedindo a existência de um vetor zero adequado para todas as operações definidas. Portanto, não é um espaço vetorial com as operações dadas.

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