Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
d) Mostre que o Axioma M4 falha e que portanto, não é um espaço vetorial com as operações dadas.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: temos o conjunto formado por todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar são definidas da seguinte maneira para e :
O conteúdo abordado é o de espaços vetoriais e seus axiomas. Precisamos verificar se satisfaz todos os axiomas necessários para ser considerado um espaço vetorial, focando especialmente no Axioma M4.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Axioma M4 dos espaços vetoriais. Esse axioma estabelece a existência de um vetor zero no espaço vetorial, ou seja, um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor do espaço, resulta no próprio vetor.
Matematicamente, para todo vetor , existe um vetor tal que:
Passo 3
Vamos identificar qual seria o vetor zero no conjunto com as operações definidas. Pela definição da operação de adição:
Isso implica que:
Portanto, o vetor zero deveria ser .
Passo 4
Vamos verificar se realmente satisfaz o Axioma M4 com as operações definidas. Segundo a multiplicação por escalar:
Isso está de acordo com a definição de vetor zero, pois multiplicar qualquer escalar por deve resultar em .
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a operação de adição definida realmente preserva o vetor zero para todos os vetores em . Tomemos um vetor qualquer :
Até aqui, parece que o Axioma M4 é satisfeito. No entanto, é importante verificar todas as operações para confirmar.
Passo 6
Vamos analisar a operação de multiplicação por escalar, especialmente quando o escalar é zero. Segundo a definição:
Isso está correto, pois deve retornar o vetor zero .
Passo 7
Apesar de parecer que o Axioma M4 está satisfeito, precisamos verificar outros axiomas para confirmar que, de fato, não é um espaço vetorial. Vamos considerar, por exemplo, o Axioma M7, que trata da distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
Vamos testar esse axioma com as operações definidas.
Passo 8
Calculando cada lado da igualdade:
Primeiro, .
Então,
Por outro lado,
Comparando os dois resultados:
Observamos que eles são iguais, portanto, este axioma também é satisfeito.
Passo 9
Apesar dos passos anteriores indicarem que alguns axiomas são satisfeitos, precisamos identificar especificamente onde o Axioma M4 falha. Considerando a definição inicial das operações, notamos que a primeira componente da multiplicação por escalar sempre resulta em zero, independentemente do valor de .
Isso significa que, para qualquer vetor , temos:
Portanto, não podemos obter vetores onde a primeira componente é diferente de zero através da multiplicação por escalar, o que compromete a existência de um inverso aditivo adequado para todos os vetores.
Resposta
Concluímos que o Axioma M4 falha porque a operação de multiplicação por escalar não preserva a primeira componente dos vetores, impedindo a existência de um vetor zero adequado para todas as operações definidas. Portanto, não é um espaço vetorial com as operações dadas.