Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma matriz ampliada que representa um sistema linear escalonado. Nosso objetivo é determinar se esse sistema tem:
Uma única solução
Infinitas soluções
Nenhuma solução
Além disso, se o sistema for compatível (ou seja, tiver pelo menos uma solução), precisamos identificar quantas variáveis são livres e quantas são dependentes.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a sistemas lineares escalonados, pivôs e variáveis livres.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pivôs na matriz. Pivô é o primeiro elemento não nulo de cada linha na forma escalonada. Cada pivô está associado a uma variável dependente.
Analisando a matriz:
Primeira linha: O primeiro número não nulo é -1 na segunda coluna.
Segunda linha: O primeiro número não nulo é 1 na terceira coluna.
Terceira linha: O primeiro número não nulo é 2 na sexta coluna.
Quarta linha: Todos os elementos são zero, o que indica que não há pivô nesta linha.
Portanto, os pivôs estão nas colunas 2, 3 e 6.
Passo 3
Agora, vamos contar o número total de variáveis no sistema. Observando a matriz ampliada, vemos que há 6 variáveis representadas pelas colunas antes da coluna dos termos constantes.
Então, temos:
Número de variáveis (n): 6
Número de pivôs ®: 3
A diferença entre o número de variáveis e o número de pivôs nos dá o número de variáveis livres:
á
Isso significa que temos 3 variáveis que podem assumir qualquer valor, enquanto as outras 3 são variáveis dependentes (são determinadas pelas variáveis livres).
Passo 4
Para determinar se o sistema tem solução, precisamos verificar se não há linhas inconsistentes. Uma linha inconsistente seria aquela onde todos os coeficientes das variáveis são zero, mas o termo constante é diferente de zero.
Analisando a última linha:
Não há inconsistências, pois mesmo que todos os coeficientes sejam zero, o termo constante também é zero. Portanto, o sistema é compatível.
Passo 5
Como o sistema é compatível e temos mais variáveis do que pivôs, o sistema possui infinitas soluções. Isso ocorre porque as variáveis livres podem assumir qualquer valor, gerando múltiplas soluções para o sistema.
Resposta
O sistema escalonado tem infinidade de soluções. Nele, existem 3 variáveis livres e 3 variáveis dependentes.