Suponha que seja uma base e sejam e . Se , encontre , y e z tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base e outra base expressa em termos de . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na nova base . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as bases estão relacionadas. As vetores da base estão expressos na base :
Isso significa que podemos representar cada como colunas de uma matriz de mudança de base.
Passo 3
Vamos montar a matriz de mudança de base onde cada coluna é um vetor da base escrito na base :
Aqui, a primeira coluna é , a segunda é e a terceira é , todas expressas em termos de .
Passo 4
Agora, queremos encontrar as coordenadas de na base . Sabemos que:
Mas queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :
Substituindo pela sua expressão em :
Passo 5
Vamos organizar os termos para igualar os coeficientes de :