Suponha que seja uma base e sejam e . Se , encontre , y e z tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base e outra base expressa em termos de . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na nova base . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as bases estão relacionadas. As vetores da base estão expressos na base :
Isso significa que podemos representar cada como colunas de uma matriz de mudança de base.
Passo 3
Vamos montar a matriz de mudança de base onde cada coluna é um vetor da base escrito na base :
Aqui, a primeira coluna é , a segunda é e a terceira é , todas expressas em termos de .
Passo 4
Agora, queremos encontrar as coordenadas de u = 2u1 - u2 + u3 na base u = xv1 + yv2 + zv3 . Sabemos que:
2u1 - u2 + u3 = x(2u1 - u2 + u3) + y(u2 - u3) + z(3u3)
Mas queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :
Substituindo pela sua expressão em :
Passo 5
Vamos organizar os termos para igualar os coeficientes de 2u1 - u2 + u3 = (2x)u1 + (-x + y)u2 + (x - y + 3z)u3 :
2 = 2x -1 = -x + y 1 = x - y + 3z
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da primeira equação:
2 = 2x Rightarrow x = 1
Substituindo -1 = -1 + y Rightarrow y = 0 na segunda equação: