Suponha que seja uma base e sejam e . Se , encontre , y e z tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base e outra base expressa em termos de . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na nova base . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e matrizes de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as bases estão relacionadas. As vetores da base estão expressos na base :
Isso significa que podemos representar cada como colunas de uma matriz de mudança de base.

Passo 3

Vamos montar a matriz de mudança de base onde cada coluna é um vetor da base escrito na base :
Aqui, a primeira coluna é , a segunda é e a terceira é , todas expressas em termos de .

Passo 4

Agora, queremos encontrar as coordenadas de na base . Sabemos que:
Mas queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :
Substituindo pela sua expressão em :

Passo 5

Vamos organizar os termos para igualar os coeficientes de :
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação:
  1. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:

Resposta

As coordenadas de na base são .

Exercícios relacionados

Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(a)
Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
(a)
Em cada parte, encontre matrizes e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial .

Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
(d)