Suponha que B=u1, u2, u3 seja uma base e sejam v1=2 u1-u2+u3, v2=u2-u3 e v3=3 u3. Se u=(2,-1,1)B, encontre x, y e z tais que u=(x, y, z)barB.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base e outra base expressa em termos de . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na nova base . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e matrizes de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as bases estão relacionadas. As vetores da base v1 = 2u1 - u2 + u3 estão expressos na base v2 = u2 - u3 :
v3 = 3u3
Isso significa que podemos representar cada como colunas de uma matriz de mudança de base.

Passo 3

Vamos montar a matriz de mudança de base P = 2 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 3 onde cada coluna é um vetor da base escrito na base :
Aqui, a primeira coluna é , a segunda é e a terceira é , todas expressas em termos de .

Passo 4

Agora, queremos encontrar as coordenadas de u = 2u1 - u2 + u3 na base u = xv1 + yv2 + zv3 . Sabemos que:
2u1 - u2 + u3 = x(2u1 - u2 + u3) + y(u2 - u3) + z(3u3)
Mas queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :
Substituindo pela sua expressão em :

Passo 5

Vamos organizar os termos para igualar os coeficientes de 2u1 - u2 + u3 = (2x)u1 + (-x + y)u2 + (x - y + 3z)u3 :
2 = 2x -1 = -x + y 1 = x - y + 3z
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação:
2 = 2x Rightarrow x = 1
  1. Substituindo -1 = -1 + y Rightarrow y = 0 na segunda equação:
1 = 1 - 0 + 3z Rightarrow 3z = 0 Rightarrow z = 0
  1. Substituindo e na terceira equação:

Resposta

As coordenadas de na base são .

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