Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
(a)

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente identificar se a matriz dada está na forma escalonada ou na forma escalonada reduzida. Além disso, se estiver, precisamos apontar os pivôs de cada linha. Se não estiver, temos que dizer quais propriedades faltam. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes na álgebra linear, como forma escalonada e pivôs.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma escalonada. Uma matriz está na forma escalonada se:
  1. Todos os elementos diferentes de zero de uma linha estão à direita dos elementos diferentes de zero das linhas acima.
  2. Cada linha que não é toda de zeros tem um elemento principal (o primeiro número diferente de zero da linha, chamado de pivô) que está à direita do pivô da linha anterior.
  3. Todas as linhas de zeros, se houver, estão na parte de baixo da matriz.
A forma escalonada reduzida, além de cumprir todas as condições da forma escalonada, exige que:
  1. Cada pivô seja igual a 1.
  2. Todos os elementos acima e abaixo de cada pivô sejam zeros.
Agora, vamos analisar a matriz dada:

Passo 3

Vamos verificar se essa matriz está na forma escalonada.
  1. Primeira linha: O primeiro número diferente de zero é 2, que é o pivô. Não há problema aqui.
  2. Segunda linha: O primeiro número diferente de zero é -1, que está na quarta coluna. Esse pivô está à direita do pivô da primeira linha (que está na segunda coluna). Ótimo!
  3. Terceira linha: O primeiro número diferente de zero é 2, que está na quinta coluna. Esse pivô está à direita do pivô da segunda linha (quarta coluna). Tudo certo!
Além disso, não há linhas de zeros acima das não-zero, então a matriz cumpre todas as condições para estar na forma escalonada.

Passo 4

Agora, vamos ver se está na forma escalonada reduzida.
Para isso, precisamos que:
  1. Todos os pivôs sejam iguais a 1.
  2. Todos os elementos acima e abaixo de cada pivô sejam zeros.
Vamos checar:
  1. Primeiro pivô (2): Não é igual a 1. Precisamos dividir a primeira linha por 2 para que o pivô seja 1.
  2. Segundo pivô (-1): Também não é igual a 1. Multiplicamos a segunda linha por -1.
  3. Terceiro pivô (2): Não é igual a 1. Dividimos a terceira linha por 2.
Além disso, vamos verificar se há zeros acima e abaixo de cada pivô. Observando a matriz original, vemos que existem elementos diferentes de zero acima dos pivôs, o que viola a condição da forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz está na forma escalonada, mas não está na forma escalonada reduzida. Os pivôs de cada linha são 2 (primeira linha), -1 (segunda linha) e 2 (terceira linha). A matriz não está na forma reduzida porque os pivôs não são iguais a 1 e há elementos diferentes de zero acima dos pivôs.

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Sejam e .
Determine: a) a primeira linha de ; b) a terceira linha de ; c) a segunda coluna de ; d) a primeira coluna de BA.
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
©
Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(a)
Suponha que seja uma base e sejam e . Se , encontre , y e z tais que .