Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(b)
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui uma matriz aumentada que está na forma escalonada. O exercício quer saber se o sistema de equações correspondente tem uma única solução, muitas soluções ou nenhuma solução. Pra isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e identificar variáveis livres e dependentes.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantas equações não-nulas temos na matriz. Olhando a matriz:
As três primeiras linhas têm números diferentes de zero, então temos 3 equações não-nulas.
Passo 3
Agora, vamos contar quantas variáveis temos no sistema. Pela matriz, temos 3 colunas antes da barra, então temos 3 variáveis: , e .
Passo 4
A gente precisa comparar o número de equações não-nulas com o número de variáveis. Aqui, temos 3 equações e 3 variáveis. Se o número de equações for igual ao número de variáveis e não houver inconsistência, o sistema tem uma única solução.
Passo 5
Vamos verificar se há inconsistência. Olhando a matriz, não tem nenhuma linha do tipo onde , o que indicaria nenhuma solução. Então, não tem inconsistência.
Passo 6
Como o número de equações não-nulas é igual ao número de variáveis e não tem inconsistência, o sistema é compatível e determinado, ou seja, tem uma única solução. Além disso, não há variáveis livres, todas são dependentes.
Resposta
O sistema tem uma única solução, sem variáveis livres.