Prove que:
a) A soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica. Aqui, estamos lidando com matrizes simétricas, que são aquelas onde a matriz é igual à sua transposta. Para resolver, vamos precisar entender o que é a transposta de uma matriz e como ela se comporta na soma de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se, ao transpor ela, a matriz resultante é igual à original. Em outras palavras:
Isso significa que os elementos estão espelhados em relação à diagonal principal.

Passo 3

Agora, vamos considerar duas matrizes simétricas, e . Queremos provar que a soma dessas duas matrizes, , também é simétrica.

Passo 4

Para isso, vamos calcular a transposta da soma . Uma propriedade importante da transposta é que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. Ou seja:

Passo 5

Como e são simétricas, sabemos que e . Substituindo isso na equação anterior:

Passo 6

Então, mostramos que a transposta da soma é igual a em si. Isso satisfaz a definição de uma matriz simétrica.

Resposta

Portanto, a soma de duas matrizes simétricas e também é simétrica, ou seja, .

Exercícios relacionados

Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
(d)
Em cada parte, encontre matrizes e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial .

Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(b)
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
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