Prove que:
a) A soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica. Aqui, estamos lidando com matrizes simétricas, que são aquelas onde a matriz é igual à sua transposta. Para resolver, vamos precisar entender o que é a transposta de uma matriz e como ela se comporta na soma de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A^T = A é simétrica se, ao transpor ela, a matriz resultante é igual à original. Em outras palavras:
Isso significa que os elementos estão espelhados em relação à diagonal principal.

Passo 3

Agora, vamos considerar duas matrizes simétricas, e . Queremos provar que a soma dessas duas matrizes, , também é simétrica.

Passo 4

Para isso, vamos calcular a transposta da soma (A + B)^T = A^T + B^T . Uma propriedade importante da transposta é que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. Ou seja:

Passo 5

Como (A + B)^T = A + B e são simétricas, sabemos que e . Substituindo isso na equação anterior:

Passo 6

Então, mostramos que a transposta da soma é igual a em si. Isso satisfaz a definição de uma matriz simétrica.

Resposta

Portanto, a soma de duas matrizes simétricas e também é simétrica, ou seja, .

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