Prove que:
a) A soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.
a) A soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica. Aqui, estamos lidando com matrizes simétricas, que são aquelas onde a matriz é igual à sua transposta. Para resolver, vamos precisar entender o que é a transposta de uma matriz e como ela se comporta na soma de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se, ao transpor ela, a matriz resultante é igual à original. Em outras palavras:
Isso significa que os elementos estão espelhados em relação à diagonal principal.
Passo 3
Agora, vamos considerar duas matrizes simétricas,
e
. Queremos provar que a soma dessas duas matrizes,
, também é simétrica.
Passo 4
Para isso, vamos calcular a transposta da soma
. Uma propriedade importante da transposta é que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. Ou seja:
Passo 5
Como
e
são simétricas, sabemos que
e
. Substituindo isso na equação anterior:
Passo 6
Então, mostramos que a transposta da soma
é igual a
em si. Isso satisfaz a definição de uma matriz simétrica.
Resposta
Portanto, a soma de duas matrizes simétricas
e
também é simétrica, ou seja,
.