Resolver os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss. O sistema dado é:
Vamos precisar usar matrizes ampliadas e realizar operações de linha para simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos realizar.
Passo 3
Vamos usar a primeira linha como nosso “pivô” para eliminar o das outras linhas. Para isso, faremos:
Linha 2:
Linha 3:
Vamos calcular:
Linha 2:
Linha 3:
A matriz agora fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por , para facilitar os cálculos:
Nossa matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha como pivô. Vamos somar a segunda linha com a terceira linha:
A matriz simplificada fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver as equações a partir da matriz simplificada:
Segunda Equação:
Podemos resolver para :
Primeira Equação:
Substituindo da equação anterior:
Simplificando:
Passo 7
Como temos mais variáveis do que equações, podemos definir duas variáveis como parâmetros. Vamos escolher e , onde e são números reais que podem assumir qualquer valor.
Então:
Para :
Para :
Resposta
A solução do sistema é dada por:
Onde e são parâmetros reais que podem assumir quaisquer valores.