Resolver os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss:
(a) x+5 y+4 z-13 w & =5 3 x-y+2 z+5 w & =-3 2 x+2 y+3 z-4 w & =1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss. O sistema dado é:
x + 5y + 4z - 13w = 5 3x - y + 2z + 5w = -3 2x + 2y + 3z - 4w = 1
Vamos precisar usar matrizes ampliadas e realizar operações de linha para simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 5 & 4 & -13 & | & 5 3 & -1 & 2 & 5 & | & -3 2 & 2 & 3 & -4 & | & 1
Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos realizar.

Passo 3

Vamos usar a primeira linha como nosso “pivô” para eliminar o 3 - 3 times 1 = 0 -1 - 3 times 5 = -16 2 - 3 times 4 = -10 5 - 3 times (-13) = 44 -3 - 3 times 5 = -18 das outras linhas. Para isso, faremos:
  • Linha 2: 2 - 2 times 1 = 0 2 - 2 times 5 = -8 3 - 2 times 4 = -5 -4 - 2 times (-13) = 22 1 - 2 times 5 = -9
  • Linha 3: 1 & 5 & 4 & -13 & | & 5 0 & -16 & -10 & 44 & | & -18 0 & -8 & -5 & 22 & | & -9
Vamos calcular:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por Linha 2 = 1-2 times Linha 2 Rightarrow 0 8 5 -22 | 9 , para facilitar os cálculos:
1 & 5 & 4 & -13 & | & 5 0 & 8 & 5 & -22 & | & 9 0 & -8 & -5 & 22 & | & -9
Nossa matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 Rightarrow 0 + 0 = 0 -8 + 8 = 0 -5 + 5 = 0 22 - 22 = 0 -9 + 9 = 0 da terceira linha usando a segunda linha como pivô. Vamos somar a segunda linha com a terceira linha:
1 & 5 & 4 & -13 & | & 5 0 & 8 & 5 & -22 & | & 9 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
A matriz simplificada fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver as equações a partir da matriz simplificada:
  1. Segunda Equação:
    8y + 5z - 22w = 9
    Podemos resolver para y = 9 - 5z + 22w8 :
    x + 5y + 4z - 13w = 5
  2. Primeira Equação:
    x + 5(9 - 5z + 22w8) + 4z - 13w = 5
    Substituindo x = 5 - 45 - 25z + 110w8 - 4z + 13w x = 40 - 45 + 25z - 110w - 32z + 104w8 x = -5 -7z -6w8 x = -58 - 78z - 68w x = -58 - 78z - 34w da equação anterior:
    Simplificando:

Passo 7

Como temos mais variáveis do que equações, podemos definir duas variáveis como parâmetros. Vamos escolher y = 9 - 5t + 22s8 e x = -58 - 78t - 34s , onde e são números reais que podem assumir qualquer valor.
Então:
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

A solução do sistema é dada por:
x = -dfrac58 - dfrac78t - dfrac34s y = dfrac9 - 5t + 22s8 z = t w = s
Onde e são parâmetros reais que podem assumir quaisquer valores.

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