Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa verificar se ela está na forma escalonada ou na forma escalonada reduzida. Para isso, vamos precisar entender o que são essas formas e identificar os pivôs de cada linha da matriz. Se a matriz não atender aos critérios dessas formas, vamos explicar quais propriedades ela não cumpre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a forma escalonada (ou forma escalonada por linhas). Uma matriz está nessa forma se:
  1. As primeiras entradas não nulas de cada linha (chamadas de pivôs) estão à direita dos pivôs das linhas acima.
  2. Todas as linhas nulas estão na parte de baixo da matriz.
Olha a nossa matriz:
Vamos verificar as condições:
  • Primeira linha: O pivô está na segunda coluna (valor 1).
  • Segunda linha: O pivô também está na segunda coluna (valor 1), que não está à direita do pivô da linha acima (que também está na segunda coluna).
Como o pivô da segunda linha não está à direita do pivô da primeira linha, a matriz não está na forma escalonada.

Passo 3

Agora, vamos ver a forma escalonada reduzida. Além das condições da forma escalonada, na forma escalonada reduzida cada pivô deve ser 1, e todos os elementos acima e abaixo de cada pivô devem ser zeros.
Mesmo que a matriz estivesse na forma escalonada, precisamos checar essas condições extras. Mas, como já vimos que ela nem está na forma escalonada, não precisamos verificar mais nada para essa forma.

Passo 4

Como a matriz não atende à forma escalonada, não faz sentido falar sobre pivôs ou forma reduzida. Porém, podemos apontar qual propriedade ela não cumpre:
  • Posição dos Pivôs: Os pivôs das linhas não estão à direita uns dos outros. Ambos estão na segunda coluna, o que viola a condição da forma escalonada.

Resposta

A matriz não está na forma escalonada nem na forma escalonada reduzida porque os pivôs das linhas não estão alinhados de forma a cada pivô posterior estar à direita do anterior.

Exercícios relacionados

Em cada parte, encontre matrizes e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial .

Suponha que seja uma base e sejam e . Se , encontre , y e z tais que .
Prove que:
a) A soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.
Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(b)