Determine condições que devem cumprir os parâmetros alpha, beta e gamma para que o sistema abaixo seja compatível
x-2 y+3 z & =alpha 2 x-y+2 z & =beta -x+5 y-7 z & =gamma

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( x, y, z). As constantes alpha, beta e gamma estão nos lados direitos das equações. Nosso objetivo é descobrir quais valores para esses parâmetros fazem com que o sistema tenha pelo menos uma solução, ou seja, seja compatível. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, trabalhando com matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & -2 & 3 & | & alpha 2 & -1 & 2 & | & beta -1 & 5 & -7 & | & gamma

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem os termos constantes). Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar as condições para que o sistema ainda seja compatível.
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & -2 & 3 2 & -1 & 2 -1 & 5 & -7
O determinante de A ( det(A)) é calculado assim:
det(A) = 1 cdot (-1 cdot -7 - 2 cdot 5) - (-2) cdot (2 cdot -7 - 2 cdot -1) + 3 cdot (2 cdot 5 - (-1) cdot -1)
Simplificando:
det(A) = 1 cdot (7 - 10) - (-2) cdot (-14 + 2) + 3 cdot (10 - 1) det(A) = 1 cdot (-3) - (-2) cdot (-12) + 3 cdot 9 det(A) = -3 - 24 + 27 det(A) = 0

Passo 4

Como det(A) = 0, o sistema pode ser compatível ou incompatível dependendo dos termos constantes. Para que seja compatível, o posto da matriz aumentada deve ser igual ao posto da matriz dos coeficientes.
Vamos montar a matriz aumentada com alpha, beta, gamma e verificar as condições:
1 & -2 & 3 & | & alpha 2 & -1 & 2 & | & beta -1 & 5 & -7 & | & gamma
Vamos realizar operações nas linhas para simplificar:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
    1 & -2 & 3 & | & alpha 0 & 3 & -4 & | & beta - 2alpha -1 & 5 & -7 & | & gamma
  2. Adicionar a primeira linha à terceira linha:
    Linha3 = Linha3 + Linha1
    1 & -2 & 3 & | & alpha 0 & 3 & -4 & | & beta - 2alpha 0 & 3 & -4 & | & gamma + alpha
Agora, observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais na parte dos coeficientes, então para que o sistema seja compatível, os termos constantes dessas linhas também devem ser iguais:
beta - 2alpha = gamma + alpha

Resposta

Para o sistema ser compatível, os parâmetros devem satisfazer a equação beta - 2alpha = gamma + alpha. Ou seja:
beta - 3alpha = gamma

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