Determine condições que devem cumprir os parâmetros e para que o sistema abaixo seja compatível
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas (, , ). As constantes , e estão nos lados direitos das equações. Nosso objetivo é descobrir quais valores para esses parâmetros fazem com que o sistema tenha pelo menos uma solução, ou seja, seja compatível. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, trabalhando com matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem os termos constantes). Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar as condições para que o sistema ainda seja compatível.
A matriz dos coeficientes é:
O determinante de () é calculado assim:
Simplificando:
Passo 4
Como , o sistema pode ser compatível ou incompatível dependendo dos termos constantes. Para que seja compatível, o posto da matriz aumentada deve ser igual ao posto da matriz dos coeficientes.
Vamos montar a matriz aumentada com , , e verificar as condições:
Vamos realizar operações nas linhas para simplificar:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Adicionar a primeira linha à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + Linha1
Agora, observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais na parte dos coeficientes, então para que o sistema seja compatível, os termos constantes dessas linhas também devem ser iguais:
Resposta
Para o sistema ser compatível, os parâmetros devem satisfazer a equação . Ou seja: