Determine condições que devem cumprir os parâmetros e para que o sistema abaixo seja compatível

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( , , ). As constantes , e estão nos lados direitos das equações. Nosso objetivo é descobrir quais valores para esses parâmetros fazem com que o sistema tenha pelo menos uma solução, ou seja, seja compatível. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, trabalhando com matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem os termos constantes). Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar as condições para que o sistema ainda seja compatível.
A matriz dos coeficientes é:
O determinante de ( ) é calculado assim:
Simplificando:

Passo 4

Como , o sistema pode ser compatível ou incompatível dependendo dos termos constantes. Para que seja compatível, o posto da matriz aumentada deve ser igual ao posto da matriz dos coeficientes.
Vamos montar a matriz aumentada com , , e verificar as condições:
Vamos realizar operações nas linhas para simplificar:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
  2. Adicionar a primeira linha à terceira linha:
    Linha3 = Linha3 + Linha1
Agora, observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais na parte dos coeficientes, então para que o sistema seja compatível, os termos constantes dessas linhas também devem ser iguais:

Resposta

Para o sistema ser compatível, os parâmetros devem satisfazer a equação . Ou seja:

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Determine os valores de para que o sistema
tenha:
(a) solução única
Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(d)
Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
(b)
Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
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