Determine os valores de para que o sistema
tenha:
(a) solução única

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema é sobre um sistema com três equações e três incógnitas (x, y, z). A gente quer descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução. Vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes para resolver. Precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, significa que o sistema tem uma solução única. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Onde os elementos da matriz são:
Aplicando isso à nossa matriz:
  • , ,
  • , ,
  • , ,

Passo 4

Substituindo na fórmula do determinante:
Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, substituímos de volta:
Simplificando:

Passo 6

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante precisa ser diferente de zero:
Resolvendo a equação igual a zero para encontrar os valores que não queremos:

Resposta

Portanto, o sistema terá uma solução única para todos os valores de exceto e .

Exercícios relacionados

Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(d)
Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
©
Determine condições que devem cumprir os parâmetros e para que o sistema abaixo seja compatível
Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
(b)