Determine os valores de alpha para que o sistema
ccc x+2 y-3 z & = & 4 3 x-y+5 z & = & 2 4 x+y+(alpha^2-14) & = & alpha+2
tenha:
(a) solução única

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema é sobre um sistema com três equações e três incógnitas (x, y, z). A gente quer descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução. Vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes para resolver. Precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & alpha^2 - 14

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, significa que o sistema tem uma solução única. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
  • , ,
  • , ,
  • , ,

Passo 4

Substituindo na fórmula do determinante:
det = 1[(-1)(alpha^2 - 14) - (5)(1)] - 2[(3)(alpha^2 - 14) - (5)(4)] + (-3)[(3)(1) - (-1)(4)]
Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
    (-1)(alpha^2 - 14) - 5 = -alpha^2 + 14 - 5 = -alpha^2 + 9
  2. Segundo termo:
    (3)(alpha^2 - 14) - 20 = 3alpha^2 - 42 - 20 = 3alpha^2 - 62
  3. Terceiro termo:
    3(1) - (-1)(4) = 3 + 4 = 7

Passo 5

Agora, substituímos de volta:
det = 1(-alpha^2 + 9) - 2(3alpha^2 - 62) + (-3)(7)
Simplificando:
det = -alpha^2 + 9 - 6alpha^2 + 124 - 21
det = (-alpha^2 - 6alpha^2) + (9 + 124 - 21)
det = -7alpha^2 + 112

Passo 6

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante precisa ser diferente de zero:
-7alpha^2 + 112 neq 0
Resolvendo a equação igual a zero para encontrar os valores que não queremos:
-7alpha^2 + 112 = 0
-7alpha^2 = -112
alpha^2 = 16
alpha = pm 4

Resposta

Portanto, o sistema terá uma solução única para todos os valores de exceto e .

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