Para cada matriz, determine sua decomposição QR , se houver.
(02): C=[rrr 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de decomposição QR. O enunciado pede pra gente decompor a matriz na forma , onde é uma matriz ortogonal e é uma matriz triangular superior. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o processo de Gram-Schmidt ou usar algum método de fatoração QR.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz C = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 :
Vemos que é uma matriz , então esperamos que seja e seja .

Passo 3

Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nas colunas de c1 = 1 -1 1 -1, c2 = 0 1 0 1, c3 = 1 1 1 1 para obter as colunas ortonormais de .
Primeiro, denotamos as colunas de como :

Passo 4

Agora, vamos construir as colunas de |c1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 = 2 :
Primeira coluna q1 = c12 = 12 -12 12 -12 :
Normalizamos :
Então,

Passo 5

Segunda coluna projq1 c2 = ( q1^T c2 ) q1 = ( 12(0) + (-12)(1) + 12(0) + (-12)(1) ) q1 = (-1) q1 :
Primeiro, vamos ortogonalizar u2 = c2 - projq1 c2 = 0 1 0 1 - -12 12 -12 12 = 12 12 12 12 em relação a |u2| = raiz(12)^2 + (12)^2 + (12)^2 + (12)^2 = raiz1 = 1 :
q2 = u2 = 12 12 12 12
Então,
Normalizamos :
Então,

Passo 6

Terceira coluna projq1 c3 = ( q1^T c3 ) q1 = ( 12(1) + (-12)(1) + 12(1) + (-12)(1) ) q1 = 0 cdot q1 = 0 :
Primeiro, vamos ortogonalizar projq2 c3 = ( q2^T c3 ) q2 = ( 12(1) + 12(1) + 12(1) + 12(1) ) q2 = 2 cdot q2 em relação a u3 = c3 - projq1 c3 - projq2 c3 = 1 1 1 1 - 0 0 0 0 - 1 1 1 1 = 0 0 0 0 e :
Então,
Vimos que é o vetor zero, então não conseguimos uma terceira coluna ortonormalmente independente. Portanto, a decomposição QR para essa matriz não é completa.

Resposta

A matriz não possui uma decomposição QR completa, pois as colunas de não são linearmente independentes, impedindo a formação de uma terceira coluna ortonormalmente independente na matriz .

Exercícios relacionados

Verifique, em cada caso, se V é um subespaço vetorial do R^3.
f) V=(4 x, y, y-x) mid x, y in R.
Determinar, se possível, a inversa de cada matriz a seguir:
(a) A=(ll1 & 2 3 & 5) ; Resp.: A^-1=(cc-5 & 2 3 & -1)
Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de M3(R).
d) W=A mid A^2=A
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a) W=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2 mid a0, a1, a2 in Z