Verifique, em cada caso, se é um subespaço vetorial do .
f) .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e subespaços, verificando se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Se conseguirmos encontrar valores de e que tornam , então o vetor zero está em .
Resolvendo:
Então, quando e , temos . Portanto, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob a adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e em . A soma é:
Observamos que a soma também está na forma , onde e . Portanto, é fechado sob a adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos um vetor qualquer de por um número real , o resultado também deve estar em .
Considerando em e um escalar , temos:
Novamente, a forma resultante é , onde e . Assim, é fechado sob a multiplicação por escalar.