Verifique, em cada caso, se V é um subespaço vetorial do R^3.
f) V=(4 x, y, y-x) mid x, y in R.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e subespaços, verificando se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 4x = 0 Rightarrow x = 0 y = 0 y - x = 0 - 0 = 0 . O vetor zero em é . Se conseguirmos encontrar valores de e que tornam , então o vetor zero está em .
Resolvendo:
Então, quando e , temos . Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u + v = (4x1 + 4x2, y1 + y2, (y1 - x1) + (y2 - x2)) = (4(x1 + x2), y1 + y2, (y1 + y2) - (x1 + x2)) é fechado sob a adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e em . A soma é:
Observamos que a soma também está na forma , onde e . Portanto, é fechado sob a adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se k cdot u = (k cdot 4x, k cdot y, k cdot (y - x)) = (4(kx), ky, ky - kx) é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos um vetor qualquer de por um número real , o resultado também deve estar em .
Considerando em e um escalar , temos:
Novamente, a forma resultante é , onde e . Assim, é fechado sob a multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de .

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Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de M3(R).
d) W=A mid A^2=A