Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de M3(R).
d) W=A mid A^2=A

Passo 1

Beleza, vamos analisar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos trabalhando com matrizes de com entradas reais. Para verificar se é um subespaço, vamos precisar dos conceitos de subespaço vetorial e das propriedades que ele deve satisfazer, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a matriz zero pertence a 0^2 = 0 cdot 0 = 0 . A matriz zero é aquela onde todas as entradas são zero, ou seja, . Vamos ver se :
Então, a matriz zero satisfaz , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos verificar se (A + B)^2 = A + B é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 e (A + B)^2 = A + AB + BA + B em , a soma também deve estar em . Ou seja, precisamos que:
Vamos expandir o lado esquerdo:
Como e estão em , sabemos que e . Substituindo:
Para que , precisaríamos que . No entanto, isso não é necessariamente verdadeiro para todas as matrizes e em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Como já encontramos que não é fechado sob adição, não precisamos verificar as demais propriedades. Para ser um subespaço, todas as propriedades devem ser satisfeitas.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não é fechado sob adição.

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