Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos analisar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui, estamos trabalhando com matrizes de
com entradas reais. Para verificar se
é um subespaço, vamos precisar dos conceitos de subespaço vetorial e das propriedades que ele deve satisfazer, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a matriz zero pertence a
. A matriz zero é aquela onde todas as entradas são zero, ou seja,
. Vamos ver se
:
Então, a matriz zero satisfaz
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes
e
em
, a soma
também deve estar em
. Ou seja, precisamos que:
Vamos expandir o lado esquerdo:
Como
e
estão em
, sabemos que
e
. Substituindo:
Para que
, precisaríamos que
. No entanto, isso não é necessariamente verdadeiro para todas as matrizes
e
em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Como já encontramos que
não é fechado sob adição, não precisamos verificar as demais propriedades. Para ser um subespaço, todas as propriedades devem ser satisfeitas.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não é fechado sob adição.