Verifique, em cada caso, se é um subespaço vetorial de .
d)
Passo 1
Beleza, vamos analisar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos trabalhando com matrizes de com entradas reais. Para verificar se é um subespaço, vamos precisar dos conceitos de subespaço vetorial e das propriedades que ele deve satisfazer, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a matriz zero pertence a . A matriz zero é aquela onde todas as entradas são zero, ou seja, . Vamos ver se :
Então, a matriz zero satisfaz , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes e em , a soma também deve estar em . Ou seja, precisamos que:
Vamos expandir o lado esquerdo:
Como e estão em , sabemos que e . Substituindo:
Para que , precisaríamos que . No entanto, isso não é necessariamente verdadeiro para todas as matrizes e em . Portanto, não é fechado sob adição.
Passo 4
Como já encontramos que não é fechado sob adição, não precisamos verificar as demais propriedades. Para ser um subespaço, todas as propriedades devem ser satisfeitas.
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não é fechado sob adição.