Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
a)
a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos utilizar alguns conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para que um conjunto seja um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . -
é fechado sob adição, ou seja, se e estão em , então também está em . -
é fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se está em e é um escalar, então está em .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
1. Vetor zero:
O vetor zero em é o polinômio
. Como
são inteiros, o vetor zero está em
.
O vetor zero em
2. Fechado sob adição:
Se temos dois polinômios e
em
, então a soma deles é
. Como a soma de inteiros é um inteiro, todos os coeficientes de
são inteiros, então
está em
.
Se temos dois polinômios
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui está o ponto importante. Se temos um polinômio em
e multiplicamos por um escalar
, obtemos
. Para que
esteja em
, os coeficientes
precisariam ser inteiros. No entanto, se
não for inteiro, esses coeficientes geralmente não serão inteiros. Por exemplo, se
e
, então
, que é inteiro, mas se
, então
, que não é inteiro.
Aqui está o ponto importante. Se temos um polinômio
Resposta
Como
não é fechado sob multiplicação por escalar (a menos que o escalar seja inteiro),
não satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
. Portanto,
não é um subespaço vetorial de
.