Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de P2(R).
a) W=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2 mid a0, a1, a2 in Z

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos utilizar alguns conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para que um conjunto seja um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. é fechado sob adição, ou seja, se e estão em , então também está em .
  3. é fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se está em e é um escalar, então está em .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
1. Vetor zero:
O vetor zero em é o polinômio . Como são inteiros, o vetor zero está em .
2. Fechado sob adição:
Se temos dois polinômios e em , então a soma deles é . Como a soma de inteiros é um inteiro, todos os coeficientes de são inteiros, então está em .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui está o ponto importante. Se temos um polinômio em e multiplicamos por um escalar , obtemos . Para que esteja em , os coeficientes precisariam ser inteiros. No entanto, se não for inteiro, esses coeficientes geralmente não serão inteiros. Por exemplo, se e , então , que é inteiro, mas se , então , que não é inteiro.

Resposta

Como não é fechado sob multiplicação por escalar (a menos que o escalar seja inteiro), não satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de . Portanto, não é um subespaço vetorial de .

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