Para cada matriz, encontre um polinômio para o qual a matriz é uma raiz:
A=(ccc 2 & 3 & -2 0 & 5 & 4 1 & 0 & -1 )

Passo 1

Então, galera, a gente tem uma matriz aí chamada A = 2 & 3 & -2 0 & 5 & 4 1 & 0 & -1 , que é assim:
O que a gente precisa fazer é encontrar um polinômio tal que, quando a gente substituir nesse polinômio, o resultado seja a matriz nula (ou seja, uma matriz onde todos os elementos são zero). Esse é um conceito de álgebra linear, especificamente relacionado aos polinômios matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o polinômio característico de uma matriz. Esse polinômio é muito útil porque ele nos diz informações sobre a matriz, como seus autovalores. E a gente pode usar esse polinômio para encontrar o que a gente precisa.
O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) de uma matriz é definido por:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I = 2 - lambda & 3 & -2 0 & 5 - lambda & 4 1 & 0 & -1 - lambda :
Agora, precisamos achar o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante de uma matriz 3x3, a gente pode usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui para facilitar.
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(5 - lambda)(-1 - lambda) + 3 cdot 4 cdot 1 + (-2) cdot 0 cdot 0 - [ -2(5 - lambda)1 + 3 cdot 0 cdot (-1 - lambda) + (2 - lambda) cdot 4 cdot 0 ]
Simplificando isso:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(5 - lambda)(-1 - lambda) + 12 + 0 - [ -2(5 - lambda) + 0 + 0 ]
= (2 - lambda)(5 - lambda)(-1 - lambda) + 12 + 2(5 - lambda)

Passo 5

Vamos expandir o primeiro termo:
(2 - lambda)(5 - lambda)(-1 - lambda) = (2 - lambda)((5 - lambda)(-1 - lambda))
Primeiro, multiplicamos (5 - lambda)(-1 - lambda) = -5 -5lambda + lambda + lambda^2 = lambda^2 -4lambda -5 :
(2 - lambda)(lambda^2 -4lambda -5) = 2lambda^2 -8lambda -10 -lambda^3 +4lambda^2 +5lambda = -lambda^3 +6lambda^2 -3lambda -10
Agora, multiplicamos por :

Passo 6

Agora, juntando tudo:
det(A - lambda I) = -lambda^3 +6lambda^2 -3lambda -10 +12 +2(5 - lambda)
Calculando 2(5 - lambda) = 10 - 2lambda :
-lambda^3 +6lambda^2 -3lambda -10 +12 +10 -2lambda = -lambda^3 +6lambda^2 -5lambda +12
Então:

Passo 7

O polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 +6lambda^2 -5lambda +12
Mas geralmente escrevemos com o coeficiente principal positivo, então multiplicamos por -1:
p(lambda) = lambda^3 -6lambda^2 +5lambda -12

Resposta

Um polinômio para o qual a matriz p(x) = x^3 -6x^2 +5x -12 é uma raiz é:

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