As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(1,-2)
Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um ponto nas coordenadas cartesianas, que é (1, -2). Nosso objetivo aqui é converter essas coordenadas para o sistema polar, ou seja, encontrar os valores de r e theta. Vamos precisar lembrar como transformar de um sistema para o outro usando um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são r e theta no sistema polar. O valor r representa a distância do ponto até a origem, e theta é o ângulo que a linha que liga a origem ao ponto faz com o eixo positivo x. Para encontrar r, usamos o teorema de Pitágoras.

Passo 3

Vamos calcular r usando a fórmula:
r = raizx^2 + y^2
Substituindo os valores:
r = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo theta. Usamos a função tangente:
tan(theta) = yx
Então:
theta = tan^-1(-21)
Calculando isso, obtemos um ângulo negativo, que não está no intervalo 0 <= theta <= 2pi. Para ajustar, adicionamos 2pi ao ângulo negativo.

Passo 5

Calculando:
theta = tan^-1(-2) approx -1,107 rad
Adicionando 2pi:
theta approx -1,107 + 2pi approx 5,176 rad

Passo 6

Porém, temos a condição que r < 0. Para ajustar isso, podemos adicionar pi a theta e mudar o sinal de r. Assim:
r = -raiz5
theta = 5,176 rad - pi approx 2,034 rad

Resposta

As coordenadas polares do ponto (1, -2) são r = -raiz5 e theta approx 2,034 radianos.

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