Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico, C(2,2 raiz3, 4 raiz3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é transformar as coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o sistema esférico. O ponto que a gente tem é . Para isso, vamos precisar entender as fórmulas de conversão entre esses dois sistemas e usar um pouco de geometria e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular rho = raizx^2 + y^2 + z^2 , que representa a distância do ponto até a origem. A fórmula para rho = raiz2^2 + (2raiz3)^2 + (4raiz3)^2 = raiz4 + 12 + 48 = raiz64 = 8 no sistema esférico é:
Substituindo os valores do nosso ponto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar theta = arctan(yx) , que é o ângulo no plano theta = arctan(2raiz32) = arctan(raiz3) = 60^circ ou pi3 radianos medido a partir do eixo . A fórmula para é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Por último, vamos calcular phi = arccos(zrho) , que é o ângulo polar, ou seja, o ângulo entre o vetor que vai até o ponto e o eixo phi = arccos(4raiz38) = arccos(raiz32) = 30^circ ou pi6 radianos . A fórmula para é:
Substituindo os valores:

Resposta

As coordenadas esféricas do ponto são .

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