Para cada matriz, encontre todos os autovalores, autovetores e uma base para cada auto-espaço.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todos os autovalores, autovetores e uma base para cada autoespaço da matriz
. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Vamos passo a passo entender como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores são valores que satisfazem a equação
, onde
é o autovalor e
é a matriz identidade. Isso nos dá uma equação polinomial chamada polinômio característico.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vamos resolver a equação característica
para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor, resolvemos o sistema
, onde
é o autovetor.
Passo 7
Primeiro, para
:
Isso nos dá o sistema:
Podemos ver que ambas as equações são equivalentes a
.
Passo 8
Então, os autovetores para
são todos os vetores da forma:
Portanto, um autovetor é
.
Passo 9
Agora, para
:
Isso nos dá o sistema:
Ambas as equações são as mesmas, então temos
.
Passo 10
Então, os autovetores para
são todos os vetores da forma:
Portanto, um autovetor é
.
Passo 11
Finalmente, para cada autovalor, o conjunto de seus autovetores forma um autoespaço, que é um subespaço vetorial. As bases para esses autoespaços são simplesmente os autovetores que encontramos.
Resposta
Os autovalores de
são
e
.
Um autovetor correspondente a
é
, e a base para o autoespaço associado é
.
Um autovetor correspondente a
é
, e a base para o autoespaço associado é
.