Para cada matriz, encontre todos os autovalores, autovetores e uma base para cada auto-espaço.
a) A=(ll2 & 2 1 & 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todos os autovalores, autovetores e uma base para cada autoespaço da matriz 2 & 2 1 & 3 . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Vamos passo a passo entender como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são valores que satisfazem a equação , onde é o autovalor e é a matriz identidade. Isso nos dá uma equação polinomial chamada polinômio característico.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 2 - lambda & 2 1 & 3 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(3 - lambda) - (2)(1) = (2-lambda)(3-lambda) - 2
= 6 - 2lambda - 3lambda + lambda^2 - 2
= lambda^2 - 5lambda + 4

Passo 5

Vamos resolver a equação característica lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32 para encontrar os autovalores:
lambda1 = 5 + 32 = 4 e lambda2 = 5 - 32 = 1
Então, os autovalores são:

Passo 6

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor, resolvemos o sistema , onde é o autovetor.

Passo 7

Primeiro, para A - 4I = 2 - 4 & 2 1 & 3 - 4 = -2 & 2 1 & -1 :
-2v1 + 2v2 = 0 v1 - v2 = 0
Isso nos dá o sistema:
Podemos ver que ambas as equações são equivalentes a .

Passo 8

Então, os autovetores para v = t t = t 1 1 , t neq 0 são todos os vetores da forma:
1 1
Portanto, um autovetor é .

Passo 9

Agora, para A - 1I = 2 - 1 & 2 1 & 3 - 1 = 1 & 2 1 & 2 :
v1 + 2v2 = 0 v1 + 2v2 = 0
Isso nos dá o sistema:
Ambas as equações são as mesmas, então temos .

Passo 10

Então, os autovetores para v = -2t t = t -2 1 , t neq 0 são todos os vetores da forma:
-2 1
Portanto, um autovetor é .

Passo 11

Finalmente, para cada autovalor, o conjunto de seus autovetores forma um autoespaço, que é um subespaço vetorial. As bases para esses autoespaços são simplesmente os autovetores que encontramos.

Resposta

Os autovalores de 1 1 são 1 1 e -2 1 .
Um autovetor correspondente a -2 1 é , e a base para o autoespaço associado é .
Um autovetor correspondente a é , e a base para o autoespaço associado é .

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