Determine, justificando sua resposta, a equação geral do plano que contem as retas r2:cx=-6 t y=3-4 t z=-7, t in R
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas retas dadas em forma paramétrica, chamadas de e . Nosso objetivo é encontrar a equação geral do plano que contém essas duas retas. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente sobre como determinar um plano a partir de duas retas. Vamos desmembrar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as direções das retas d1 = 3 2 0 e d2 = -6 -4 0 . Nas equações paramétricas, os coeficientes de nos dão os vetores diretores das retas.
Para :
Porque nas variações, aumenta de 3 por cada , aumenta de 2, e fica sempre 3 (ou seja, a variação em é 0).
Para :
Aqui, diminui de 6 por , diminui de 4, e fica sempre -7 (variação em também é 0).
Passo 3
Agora, precisamos garantir que essas duas retas realmente estão no mesmo plano. Para isso, vamos verificar se os vetores diretores não são múltiplos um do outro, ou seja, se as retas não são paralelas. Se não forem paralelas, elas definem um plano único.
Calculando:
d2 = -2 times d1 (porque -2 times 3 = -6 e -2 times 2 = -4)
Então, as retas são paralelas.
Passo 4
Como as retas são paralelas, precisamos verificar se elas coincidem ou não. Se não coincidirem, elas não determinarão um plano único. Mas, observando os pontos iniciais das retas:
Para P1(-1, -5, 3) , quando P2(0, 3, -7) :
Para , quando :
Como os valores de são diferentes (3 e -7), as retas não coincidem e, portanto, não existem planos que as contêm simultaneamente, já que são retas paralelas em planos distintos.
Resposta
Não existe um plano que contenha ambas as retas e , pois elas são retas paralelas que não coincidem.