Sabendo que as retas r2:lx=1+a s y=5-2 s z=6 ; s in R são paralelas, encontre os valores de a, b in R.Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas retas no espaço e a gente precisa encontrar os valores de e que fazem essas retas serem paralelas. A matéria aqui envolve geometria analítica no espaço, especificamente o conceito de retas paralelas e vetores diretores. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e ver como eles se relacionam para serem paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. Uma reta no espaço é dada por equações paramétricas do tipo:
r: x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
onde r1: x = 2 - 3t y = 1 + t z = 3 + 2t é o vetor diretor da reta.
Para a reta r2: x = 1 + a s y = 5 - 2s z = 6 + b s :
O vetor diretor de é .
Para a reta :
O vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, para que as retas sejam paralelas, os vetores diretores precisam ser proporcionais. Isso significa que existe um número v2 = k cdot v1 tal que:
(a, -2, b) = k cdot (-3, 1, 2)
Então, temos:
a = -3k -2 = k b = 2k
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da segunda equação: a = -3 cdot (-2) = 6 , então b = 2 cdot (-2) = -4 .
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Resposta
Os valores que fazem as retas e serem paralelas são e .