Considere as bases de P<= 2
alpha=x, 2 x-2,3 x^2-1, beta=5,5+x, 5+x^2, de
Encontre [w]beta e [w]de sabendo que [w]alpha=[l2 1 1].

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente está trabalhando com polinômios de grau no máximo 2, que é o espaço P<= 2. Temos três bases diferentes desse espaço: alpha, beta e de. O exercício quer que a gente encontre as coordenadas de um polinômio w nas bases beta e de, sabendo que já conhecemos as coordenadas de w na base alpha, que são 2 1 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor [w]alpha = 2 1 1. Isso quer dizer que o polinômio w pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios da base alpha. Vamos escrever isso matematicamente:
w = 2 cdot x + 1 cdot (2x - 2) + 1 cdot (3x^2 - 1)
Agora, vamos simplificar essa expressão para encontrar w na base canônica (a base padrão).

Passo 3

Vamos expandir e simplificar a expressão de w:
w = 2x + (2x - 2) + (3x^2 - 1) w = 2x + 2x - 2 + 3x^2 - 1 w = 3x^2 + 4x - 3
Então, o polinômio w na base canônica é 3x^2 + 4x - 3.

Passo 4

Agora, queremos encontrar [w]beta, ou seja, as coordenadas de w na base beta = 5, 5+x, 5+x^2. Para isso, vamos expressar w como uma combinação linear dos elementos de beta:
w = a cdot 5 + b cdot (5 + x) + c cdot (5 + x^2)
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c.

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes das duas expressões de w:
3x^2 + 4x - 3 = a cdot 5 + b cdot (5 + x) + c cdot (5 + x^2) 3x^2 + 4x - 3 = (5a + 5b + 5c) + (b)x + (c)x^2
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c = 3 (coeficiente de x^2) b = 4 (coeficiente de x) 5a + 5b + 5c = -3 (termo constante)

Passo 6

Sabemos que c = 3 e b = 4. Vamos substituir esses valores na terceira equação para encontrar a:
5a + 5(4) + 5(3) = -3 5a + 20 + 15 = -3 5a + 35 = -3 5a = -38 a = -385

Passo 7

Agora que temos os valores de a, b e c, podemos escrever o vetor [w]beta:
[w]beta = a b c = -385 4 3

Passo 8

Vamos repetir o mesmo processo para encontrar [w]de. A base de é 2x^2, x^2 - 3, x + 1. Queremos expressar w como uma combinação linear desses polinômios:
w = d cdot 2x^2 + e cdot (x^2 - 3) + f cdot (x + 1)
Nosso objetivo é encontrar os valores de d, e e f.

Passo 9

Igualando os coeficientes:
3x^2 + 4x - 3 = d cdot 2x^2 + e cdot x^2 + f cdot x + (-3e) + f 3x^2 + 4x - 3 = (2d + e)x^2 + f x + (-3e + f)
Isso nos dá o sistema:
2d + e = 3 (coeficiente de x^2) f = 4 (coeficiente de x) -3e + f = -3 (termo constante)

Passo 10

Sabemos que f = 4. Vamos substituir esse valor na terceira equação:
-3e + 4 = -3 -3e = -7 e = 73
Agora, substituímos e = 73 na primeira equação para encontrar d:
2d + 73 = 3 2d = 3 - 73 2d = 93 - 73 2d = 23 d = 13

Resposta

As coordenadas do polinômio w nas bases beta e de são:
[w]beta = -dfrac385 4 3 , [w]de

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