Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente está trabalhando com polinômios de grau no máximo 2, que é o espaço P<= 2. Temos três bases diferentes desse espaço: alpha, beta e de. O exercício quer que a gente encontre as coordenadas de um polinômio w nas bases beta e de, sabendo que já conhecemos as coordenadas de w na base alpha, que são 2 1 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o vetor [w]alpha = 2 1 1. Isso quer dizer que o polinômio w pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios da base alpha. Vamos escrever isso matematicamente:
w = 2 cdot x + 1 cdot (2x - 2) + 1 cdot (3x^2 - 1)
Agora, vamos simplificar essa expressão para encontrar w na base canônica (a base padrão).
Passo 3
Vamos expandir e simplificar a expressão de w:
w = 2x + (2x - 2) + (3x^2 - 1) w = 2x + 2x - 2 + 3x^2 - 1 w = 3x^2 + 4x - 3
Então, o polinômio w na base canônica é 3x^2 + 4x - 3.
Passo 4
Agora, queremos encontrar [w]beta, ou seja, as coordenadas de w na base beta = 5, 5+x, 5+x^2. Para isso, vamos expressar w como uma combinação linear dos elementos de beta:
w = a cdot 5 + b cdot (5 + x) + c cdot (5 + x^2)
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c.
Passo 5
Vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes das duas expressões de w:
Agora que temos os valores de a, b e c, podemos escrever o vetor [w]beta:
[w]beta = a b c = -385 4 3
Passo 8
Vamos repetir o mesmo processo para encontrar [w]de. A base de é 2x^2, x^2 - 3, x + 1. Queremos expressar w como uma combinação linear desses polinômios:
w = d cdot 2x^2 + e cdot (x^2 - 3) + f cdot (x + 1)
Nosso objetivo é encontrar os valores de d, e e f.
Passo 9
Igualando os coeficientes:
3x^2 + 4x - 3 = d cdot 2x^2 + e cdot x^2 + f cdot x + (-3e) + f 3x^2 + 4x - 3 = (2d + e)x^2 + f x + (-3e + f)
Isso nos dá o sistema:
2d + e = 3 (coeficiente de x^2) f = 4 (coeficiente de x) -3e + f = -3 (termo constante)
Passo 10
Sabemos que f = 4. Vamos substituir esse valor na terceira equação:
-3e + 4 = -3 -3e = -7 e = 73
Agora, substituímos e = 73 na primeira equação para encontrar d: