Para cada matriz, encontre todos os autovalores, autovetores e uma base para cada auto-espaço.
c) C=(ccc1 & 2 & 2 1 & 2 & -1 -1 & 1 & 4).
Quando possível, encontre as matrizes inversíveis P1, P2 e P3 tais que P1^-1 A P1, P2^-1 B P2 e P3^-1 C P3 sejam diagonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores, autovetores e uma base para cada autoespaço da matriz . Além disso, quando for possível, vamos achar matrizes inversíveis tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, sistemas lineares e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(C - lambda I) = 0 . Autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz C - lambda I = 1 - lambda & 2 & 2 1 & 2 - lambda & -1 -1 & 1 & 4 - lambda :
det(C - lambda I) = (1 - lambda)((2 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(1)) - 2(1(4 - lambda) - (-1)(-1)) + 2(1(1) - (2 - lambda)(-1))
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
(2 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(1) = (8 - 6lambda + lambda^2) + 1 = lambda^2 - 6lambda + 9
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Primeiro determinante menor:
1(4 - lambda) - (-1)(-1) = 4 - lambda - 1 = 3 - lambda
  1. Segundo determinante menor:
1(1) - (2 - lambda)(-1) = 1 + 2 - lambda = 3 - lambda
  1. Terceiro determinante menor:
det(C - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 9) - 2(3 - lambda) + 2(3 - lambda)
Substituindo de volta:
det(C - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 9)
Perceba que os termos com -2 e +2 se cancelam:
(1 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 9) = 0
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo as equações:
  1. =>
  2. => => (com multiplicidade 2)
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para cada C - I = 0 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 3 , resolvemos 0x + 2y + 2z = 0 x + y - z = 0 - x + y + 3z = 0 .
Para v = z 2 -1 1 :
2 -1 1
Resolvendo o sistema:
C - 3I = -2 & 2 & 2 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 1
Da primeira equação: -2x + 2y + 2z = 0 x - y - z = 0 - x + y + z = 0 => -2(y + z) + 2y + 2z = -2y - 2z + 2y + 2z = 0
Substituindo na segunda equação: v = y 1 1 0 + z 1 0 1 => 1 1 0
Então, os autovetores são da forma 1 0 1 , ou seja:
Onde é um escalar. Assim, o autovetor associado a é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Observando que as duas últimas equações são iguais com sinal trocado, vamos utilizar a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Isso não nos dá informação adicional, então e são livres. Podemos expressar os autovetores como:
Portanto, os autovetores associados a são combinações lineares de e .

Passo 5

Agora, vamos determinar uma base para cada autoespaço.
  • Para 2 -1 1 : A base é composta pelo único autovetor não nulo encontrado:
1 1 0 , 1 0 1
  • Para : Como encontramos dois autovetores linearmente independentes, a base é:

Passo 6

Por fim, vamos verificar se a matriz P3 = 2 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se houver um conjunto de autovetores linearmente independentes que formam uma base para o espaço.
No nosso caso, temos um total de 3 autovetores (um para P3^-1 C P3 = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 e dois para ) que são linearmente independentes. Portanto, é diagonalizável.
Agora, podemos construir a matriz com os autovetores como colunas:
E a matriz diagonal correspondente será:

Resposta

Autovalores de Autovetor: 2 -1 1 : Base do Autoespaço: 2 -1 1 e Autovetores: 1 1 0 , 1 0 1 .
Autovetores e Bases para Cada Autoespaço:
  • Para Base do Autoespaço: 1 1 0 , 1 0 1 : P3 = 2 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 P3^-1 C P3 = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 ç
  • Para : ç
Matriz Diagonalizável:
A matriz é diagonalizável, e uma matriz inversível que diagonaliza é:
E a matriz diagonal correspondente é:

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