Determine, justificando sua resposta, a posição relativa entre o plano
pi: 3 x+2 y-z+3=0 e a reta r:l x=1-2 t y=3+t z=5-4 t ; t in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir como estão posicionados, um plano e uma reta no espaço. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas. Para resolver isso, vamos precisar das equações do plano e da reta, e fazer umas substituições para ver se a reta está no plano, se corta o plano ou se é paralela a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que a gente tem:
O plano é dado por:
3x + 2y - z + 3 = 0
A reta é dada nas formas paramétricas:
x = 1 - 2t y = 3 + t z = 5 - 4t ; t in R

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões de 3(1 - 2t) + 2(3 + t) - (5 - 4t) + 3 = 0 , e da reta na equação do plano. Isso vai nos ajudar a ver se existe algum valor de que faz a equação do plano ser verdadeira para a reta.
Substituindo:

Passo 4

Vamos resolver essa equação passo a passo:
  1. Multiplicando:
3 - 6t + 6 + 2t - 5 + 4t + 3 = 0
  1. Somando os termos semelhantes:
(3 + 6 - 5 + 3) + (-6t + 2t + 4t) = 0 7 + 0t = 0
Isso simplifica para:
7 = 0

Passo 5

A gente chegou a uma equação impossível ( ), o que significa que não existe nenhum valor de que satisfaça a equação do plano. Isso indica que a reta não intersecta o plano e, como os coeficientes angulares das duas equações não fazem a reta ser paralela ao plano, concluímos que a reta é paralela ao plano.

Resposta

A reta é paralela ao plano e não há ponto de interseção entre eles.

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