Para cada matriz, encontre todos os autovalores, autovetores e uma base para cada auto-espaço.
b) B=(lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes onde precisamos encontrar os autovalores, autovetores e uma base para cada auto-espaço da matriz 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1. Esse tipo de problema faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender como uma transformação linear age em diferentes direções do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(B - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde representa os autovalores e é a matriz identidade de mesma ordem que .

Passo 3

Vamos calcular B - lambda I = 1 - lambda & 1 & 0 0 & 1 - lambda & 0 1 & 0 & 1 - lambda :
det(B - lambda I) = (1 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda) - (0 cdot 0)] - 1[0 cdot (1 - lambda) - 0 cdot 1] + 0[0 cdot 0 - (1 - lambda) cdot 1]
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(B - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)^2 = (1 - lambda)^3
Simplificando:

Passo 4

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^3 = 0 implies lambda = 1
Então, o único autovalor é com multiplicidade 3.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a (B - I)v = 0 . Para isso, resolvemos o sistema:
B - I = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0
Onde 0x + y + 0z = 0 0x + 0y + 0z = 0 x + 0y + 0z = 0 é o vetor autovetor.
Substituindo :
Então, o sistema fica:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Da primeira equação:
A segunda equação não nos dá nenhuma informação adicional.
Portanto, é livre, ou seja, pode ser qualquer número real.

Passo 7

Então, os vetores autovetores têm a forma:
v = 0 0 z = z 0 0 1
Onde pode ser qualquer número real diferente de zero.

Passo 8

Agora, vamos identificar a base para o auto-espaço associado a 0 0 1. Como o único vetor autovetor independente é 0 0 1 , a base para o auto-espaço é:

Resposta

O autovalor é 0 0 1 com multiplicidade 3. O autovetor correspondente é qualquer múltiplo de 0 0 1. Uma base para o auto-espaço é .

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