Determinar M in M3(R), inversivel, tal que M^-1 AM seja diagonal onde A=(rrr 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5 )

Passo 1

Então, o que a gente precisa aqui é encontrar uma matriz inversível de que, quando a gente faz , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso está relacionado à matéria de diagonalização de matrizes, que envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores de , encontrar os autovetores correspondentes e montar a matriz usando esses autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a matriz A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 4 3 & -4 - lambda & 12 1 & -2 & 5 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(-4 - lambda)(5 - lambda) - (12)(-2)] - 0 + 4[3(-2) - (-4 - lambda)(1)]
Simplificando:
= (2 - lambda)( (-4 - lambda)(5 - lambda) + 24 ) + 4( -6 + 4 + lambda )
Expandindo:
= (2 - lambda) (20 + 4lambda -5lambda + lambda^2 + 24 ) + 4(lambda - 2)
Juntando os termos semelhantes:
= (2 - lambda)(lambda^2 - lambda + 44) + 4lambda - 8
Multiplicando por -1:
= 2lambda^2 - 2lambda + 88 - lambda^3 + lambda^2 - 44lambda + 4lambda - 8
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores.

Passo 5

Testando possíveis raízes racionais pela regra de sinais, descobrimos que (lambda - 2)(lambda^2 - lambda + 40) = 0 é uma raiz. Então, podemos fatorar a equação:
lambda = 1 pm raiz1 - 1602 = 1 pm raiz-1592
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara:
Os outros autovalores são complexos, mas como estamos trabalhando com matrizes reais, consideramos apenas o autovalor real para diagonalização.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a 0 & 0 & 4 3 & -6 & 12 1 & -2 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0 . Precisamos resolver 0v1 + 0v2 + 4v3 = 0 3v1 - 6v2 + 12v3 = 0 v1 - 2v2 + 3v3 = 0 :
3v1 - 6v2 = 0 implies v1 = 2v2 v1 - 2v2 = 0 implies v1 = 2v2
Isso nos dá as equações:
v = 2 1 0
Da primeira equação, . Substituindo nas outras:
Escolhendo , temos e . Então, um autovetor é:

Passo 7

Como a matriz tem apenas um autovalor real e não possui 3 autovalores distintos, ela não é diagonalizável no conjunto das matrizes reais. Portanto, não existe uma matriz inversível real que satisfaça sendo diagonal.

Resposta

Não existe uma matriz inversível tal que seja diagonal.

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