Determinar , inversivel, tal que seja diagonal onde
Passo 1
Então, o que a gente precisa aqui é encontrar uma matriz inversível de que, quando a gente faz , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso está relacionado à matéria de diagonalização de matrizes, que envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores de , encontrar os autovetores correspondentes e montar a matriz usando esses autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a matriz A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 4 3 & -4 - lambda & 12 1 & -2 & 5 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores.
Passo 5
Testando possíveis raízes racionais pela regra de sinais, descobrimos que (lambda - 2)(lambda^2 - lambda + 40) = 0 é uma raiz. Então, podemos fatorar a equação:
lambda = 1 pm raiz1 - 1602 = 1 pm raiz-1592
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara:
Os outros autovalores são complexos, mas como estamos trabalhando com matrizes reais, consideramos apenas o autovalor real para diagonalização.
Como a matriz tem apenas um autovalor real e não possui 3 autovalores distintos, ela não é diagonalizável no conjunto das matrizes reais. Portanto, não existe uma matriz inversível real que satisfaça sendo diagonal.
Resposta
Não existe uma matriz inversível tal que seja diagonal.