Encontre a equação cartesiana da parábola, que tem foco em
e reta diretriz
. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de uma parábola que tem o foco em
e a reta diretriz
. Para isso, vamos usar o conceito básico de parábolas: pontos na parábola têm a mesma distância até o foco e até a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o foco e a diretriz de uma parábola. O foco é um ponto fixo dentro da parábola, e a diretriz é uma reta fixa que fica do outro lado da parábola. A definição diz que qualquer ponto
na parábola está equidistante do foco e da diretriz.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância do ponto
até o foco
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
Em seguida, calculamos a distância do ponto
até a diretriz
. Como a diretriz é uma linha vertical, a distância é simplesmente a diferença entre as coordenadas
:
Passo 5
Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais:
Para simplificar, vamos elevar os dois lados ao quadrado para tirar a raiz:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos:
Depois, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 7
Vamos organizar os termos para isolar
:
Isso simplifica para:
Resposta
A equação cartesiana da parábola é
.