Encontre a equação cartesiana da parábola, que tem foco em F=(5,0) e reta diretriz x=1. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de uma parábola que tem o foco em e a reta diretriz . Para isso, vamos usar o conceito básico de parábolas: pontos na parábola têm a mesma distância até o foco e até a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o foco e a diretriz de uma parábola. O foco é um ponto fixo dentro da parábola, e a diretriz é uma reta fixa que fica do outro lado da parábola. A definição diz que qualquer ponto na parábola está equidistante do foco e da diretriz.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do ponto dfoco = raiz(x - 5)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - 5)^2 + y^2 até o foco . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

Em seguida, calculamos a distância do ponto ddiretriz = |x - 1| até a diretriz . Como a diretriz é uma linha vertical, a distância é simplesmente a diferença entre as coordenadas :

Passo 5

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais:
raiz(x - 5)^2 + y^2 = |x - 1|
Para simplificar, vamos elevar os dois lados ao quadrado para tirar a raiz:
(x - 5)^2 + y^2 = (x - 1)^2

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos:
x^2 - 10x + 25 + y^2 = x^2 - 2x + 1
Depois, subtraímos -10x + 25 + y^2 = -2x + 1 de ambos os lados:

Passo 7

Vamos organizar os termos para isolar y^2 = 8x - 24 :
y^2 = 8(x - 3)
Isso simplifica para:

Resposta

A equação cartesiana da parábola é .

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