Para cada matriz , obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de :
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o menor conjunto de vetores que gera o espaço solução da equação . A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços nulos de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar analisar a matriz , realizar algumas operações para simplificar e identificar os vetores que formam a base do espaço solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais detalhada. A matriz é:
E o vetor é:
Então, a equação fica:

[


]
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 3

Observando as equações, percebemos que as segundas e terceiras equações são múltiplos da primeira. Por exemplo, a segunda equação é 2 vezes a primeira, e a terceira é 3 vezes a primeira. Isso significa que todas as três equações são, na verdade, a mesma equação repetida.
Então, na prática, temos apenas uma equação independente:

Passo 4

Vamos resolver essa única equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher para isolar:
Agora, e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Vamos chamar e , onde e são números reais qualquer.
Então, podemos escrever o vetor solução da seguinte forma:

[
\vec{x} =


]

Passo 5

Vamos separar os termos para expressar como uma combinação linear dos vetores que parametrizeiam o espaço solução:
Isso mostra que todos os vetores solução podem ser formados combinando os vetores e com quaisquer escalares e .

Resposta

O menor conjunto de vetores que gera o espaço solução de é:

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Determine se o conjunto com as operações
É um espaço vetorial. E for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, indique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.
Considere as bases ordenadas e do dadas por e . Considere a base ordenada canônica .
(1) Calcule e .
(2) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(3) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(4) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Seja um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto é um subespaço de .