Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o menor conjunto de vetores que gera o espaço solução da equação . A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços nulos de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar analisar a matriz , realizar algumas operações para simplificar e identificar os vetores que formam a base do espaço solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais detalhada. A matriz é:
E o vetor é:
Então, a equação fica:
[
]
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 3
Observando as equações, percebemos que as segundas e terceiras equações são múltiplos da primeira. Por exemplo, a segunda equação é 2 vezes a primeira, e a terceira é 3 vezes a primeira. Isso significa que todas as três equações são, na verdade, a mesma equação repetida.
Então, na prática, temos apenas uma equação independente:
Passo 4
Vamos resolver essa única equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher para isolar:
Agora, e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Vamos chamar e , onde e são números reais qualquer.
Então, podemos escrever o vetor solução da seguinte forma:
[
\vec{x} =
]
Passo 5
Vamos separar os termos para expressar como uma combinação linear dos vetores que parametrizeiam o espaço solução:
Isso mostra que todos os vetores solução podem ser formados combinando os vetores e com quaisquer escalares e .
Resposta
O menor conjunto de vetores que gera o espaço solução de é: