Para cada matriz A, obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de A x=0 :
© A=(lll1 & -3 & 1 2 & -6 & 2 3 & -9 & 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o menor conjunto de vetores que gera o espaço solução da equação . A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços nulos de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar analisar a matriz , realizar algumas operações para simplificar e identificar os vetores que formam a base do espaço solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação A = 1 & -3 & 1 2 & -6 & 2 3 & -9 & 3 de forma mais detalhada. A matriz x = x1 x2 x3 é:
1 & -3 & 1 2 & -6 & 2 3 & -9 & 3 x1 x2 x3 = 0 0 0
E o vetor 1x1 - 3x2 + 1x3 = 0 2x1 - 6x2 + 2x3 = 0 3x1 - 9x2 + 3x3 = 0 é:
Então, a equação fica:

[


]
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 3

Observando as equações, percebemos que as segundas e terceiras equações são múltiplos da primeira. Por exemplo, a segunda equação é 2 vezes a primeira, e a terceira é 3 vezes a primeira. Isso significa que todas as três equações são, na verdade, a mesma equação repetida.
Então, na prática, temos apenas uma equação independente:
x1 - 3x2 + x3 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa única equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher x1 = 3x2 - x3 para isolar:
x = x1 x2 x3 = 3s - t s t
Agora, e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Vamos chamar e , onde e são números reais qualquer.
Então, podemos escrever o vetor solução da seguinte forma:

[
\vec{x} =


]

Passo 5

Vamos separar os termos para expressar x = s 3 1 0 + t -1 0 1 como uma combinação linear dos vetores que parametrizeiam o espaço solução:
3 1 0
Isso mostra que todos os vetores solução podem ser formados combinando os vetores -1 0 1 e com quaisquer escalares e .

Resposta

O menor conjunto de vetores que gera o espaço solução de 3 1 0 , -1 0 1 é:

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