Considere as bases ordenadas e do dadas por e . Considere a base ordenada canônica .
(1) Calcule e .
(2) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(3) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(4) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre mudar as coordenadas de um vetor em com relação a diferentes bases. A matéria é sobre mudanças de base e coordenadas de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em diferentes bases e como construir as matrizes de mudança de base usando as bases fornecidas , e a base canônica .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , ou seja, as coordenadas do vetor na base . Isso significa que precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos . Substituindo em , temos . Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular usando a base . Precisamos encontrar e tais que:
Isso resulta no sistema:
Somando as duas equações, obtemos , então . Substituindo em , temos . Assim:
Passo 4
Por fim, vamos calcular , onde é a base canônica . Aqui, as coordenadas são triviais:
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz de mudança de base de para . Essa matriz tem as coordenadas dos vetores da base na base como colunas. Como , temos:
Passo 6
Para a matriz de mudança de base de para , usamos os vetores de expressos na base . Como , a matriz fica:
Passo 7
Por último, vamos calcular a matriz de mudança de base de para . Para isso, usamos a relação: