Considere as bases ordenadas e do dadas por e . Considere a base ordenada canônica .
(1) Calcule e .
(2) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(3) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(4) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre mudar as coordenadas de um vetor em com relação a diferentes bases. A matéria é sobre mudanças de base e coordenadas de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em diferentes bases e como construir as matrizes de mudança de base usando as bases fornecidas , e a base canônica .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , ou seja, as coordenadas do vetor na base . Isso significa que precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos . Substituindo em , temos . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a base . Precisamos encontrar e tais que:
Isso resulta no sistema:
Somando as duas equações, obtemos , então . Substituindo em , temos . Assim:

Passo 4

Por fim, vamos calcular , onde é a base canônica . Aqui, as coordenadas são triviais:

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz de mudança de base de para . Essa matriz tem as coordenadas dos vetores da base na base como colunas. Como , temos:

Passo 6

Para a matriz de mudança de base de para , usamos os vetores de expressos na base . Como , a matriz fica:

Passo 7

Por último, vamos calcular a matriz de mudança de base de para . Para isso, usamos a relação:
Primeiro, calculamos o inverso de :
Multiplicando:

Resposta

  1. , ,

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É um espaço vetorial. E for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, indique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.
Para cada matriz , obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de :
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