Considere as bases ordenadas
e
do
dadas por
e
. Considere a base ordenada canônica
.
(1) Calcule
e
.
(2) Calcule a matriz mudança de base
entre a base
e
.
(3) Calcule a matriz mudança de base
entre a base
e
.
(4) Calcule a matriz mudança de base
entre a base
e
.
(1) Calcule
(2) Calcule a matriz mudança de base
(3) Calcule a matriz mudança de base
(4) Calcule a matriz mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre mudar as coordenadas de um vetor em
com relação a diferentes bases. A matéria é sobre mudanças de base e coordenadas de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em diferentes bases e como construir as matrizes de mudança de base usando as bases fornecidas
,
e a base canônica
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, ou seja, as coordenadas do vetor
na base
. Isso significa que precisamos encontrar escalares
e
tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
. Substituindo em
, temos
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a base
. Precisamos encontrar
e
tais que:
Isso resulta no sistema:
Somando as duas equações, obtemos
, então
. Substituindo em
, temos
. Assim:
Passo 4
Por fim, vamos calcular
, onde
é a base canônica
. Aqui, as coordenadas são triviais:
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz de mudança de base
de
para
. Essa matriz tem as coordenadas dos vetores da base
na base
como colunas. Como
, temos:
Passo 6
Para a matriz de mudança de base
de
para
, usamos os vetores de
expressos na base
. Como
, a matriz fica:
Passo 7
Por último, vamos calcular a matriz de mudança de base
de
para
. Para isso, usamos a relação:
Primeiro, calculamos o inverso de
:
Multiplicando:
Resposta
-
, , -
-
-