Considere as bases ordenadas A e B do R^2 dadas por A=(1,1),(1,2) e B=(1,-1),(2,1). Considere a base ordenada canônica C=(1,0),(0,1).
(1) Calcule [(-1,1)]A,[(-1,1)]B e [(-1,1)]C.
(2) Calcule a matriz mudança de base MA, C entre a base C e A.
(3) Calcule a matriz mudança de base MB, C entre a base C e B.
(4) Calcule a matriz mudança de base MB, A entre a base A e B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre mudar as coordenadas de um vetor em com relação a diferentes bases. A matéria é sobre mudanças de base e coordenadas de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em diferentes bases e como construir as matrizes de mudança de base usando as bases fornecidas , e a base canônica .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (-1,1) = x(1,1) + y(1,2) , ou seja, as coordenadas do vetor x + y = -1 x + 2y = 1 na base [(-1,1)]A = -3 2 . Isso significa que precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos . Substituindo em , temos . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular (-1,1) = x(1,-1) + y(2,1) usando a base x + 2y = -1 - x + y = 1 . Precisamos encontrar [(-1,1)]B = -1 0 e tais que:
Isso resulta no sistema:
Somando as duas equações, obtemos , então . Substituindo em , temos . Assim:

Passo 4

Por fim, vamos calcular [(-1,1)]C = -1 1 , onde é a base canônica . Aqui, as coordenadas são triviais:

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz de mudança de base MA, C = 1 & 1 1 & 2 de para . Essa matriz tem as coordenadas dos vetores da base na base como colunas. Como , temos:

Passo 6

Para a matriz de mudança de base MB, C = 1 & 2 -1 & 1 de para , usamos os vetores de expressos na base . Como , a matriz fica:

Passo 7

Por último, vamos calcular a matriz de mudança de base MB, A = MB, C cdot MA, C^-1 de MA, C^-1 = 1(1)(2) - (1)(1) 2 & -1 -1 & 1 = 2 & -1 -1 & 1 para MB, A = 1 & 2 -1 & 1 2 & -1 -1 & 1 = 0 & 1 -3 & 2 . Para isso, usamos a relação:
Primeiro, calculamos o inverso de :
Multiplicando:

Resposta

  1. -3 2 , -1 0 , -1 1
  2. 1 & 1 1 & 2
  3. 1 & 2 -1 & 1
  4. 0 & 1 -3 & 2

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