Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida pela matriz . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de , que é basicamente o conjunto de todos os vetores que pode produzir. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformação linear, imagem (ou coluna espaço) e base. Precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes para formar essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas de . Para encontrar uma base, precisamos identificar quais dessas colunas são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos verificar se as colunas de são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Para fazer isso, montamos o sistema:
Queremos ver se a única solução é . Se for, as colunas são independentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz aumentada e resolver o sistema:
Subtraindo a primeira linha da segunda:
Multiplicando a primeira linha por 3 e subtraindo da terceira:
A segunda e terceira linhas são iguais, então temos apenas duas equações independentes.
Passo 5
Isso significa que há infinitas soluções para , o que indica que as colunas são linearmente dependentes. Portanto, uma das colunas pode ser escrita como combinação das outras.
Vamos expressar a terceira coluna em função das primeiras:
Da segunda linha: →
Da primeira linha:
Substituindo :
→ →
Então, e . Isso mostra que a terceira coluna é uma combinação das duas primeiras.
Passo 6
Como a terceira coluna é dependente, podemos descartar uma delas para formar a base. Vamos escolher as duas primeiras colunas, já que elas são independentes.
Então, uma base para a imagem de é formada pelos vetores:
Resposta
Uma base para a imagem de é formada pelos vetores e .