Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial real
e um subconjunto
definido por
. A gente precisa descobrir se esse subconjunto
é um subespaço de
. Pra isso, a gente vai usar os conceitos de subespaços vetoriais e verificar se
satisfaz certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar em . - É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em
e somar eles, o resultado também deve estar em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor qualquer em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
-
e , então satisfaz as condições e . - Portanto, o vetor zero está em
.
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer em
, digamos
e
, onde
e
.
Somando
e
:
Como
e
, então:
Portanto,
também satisfaz
e
, ou seja,
.
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, onde
, e um escalar
.
Multiplicando
por
:
Como
, então:
Portanto,
também satisfaz
e
, ou seja,
.
Resposta
Como o subconjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço de
.