Seja um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto é um subespaço de .
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial real e um subconjunto definido por . A gente precisa descobrir se esse subconjunto é um subespaço de . Pra isso, a gente vai usar os conceitos de subespaços vetoriais e verificar se satisfaz certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: O vetor precisa estar em .
É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em e somar eles, o resultado também deve estar em .
É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor qualquer em e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele está em :
e , então satisfaz as condições e .
Portanto, o vetor zero está em .
2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer em , digamos e , onde e .
Somando e :
Como e , então:
Portanto, também satisfaz e , ou seja, .
3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em , digamos , onde , e um escalar .
Multiplicando por :
Como , então:
Portanto, também satisfaz e , ou seja, .
Resposta
Como o subconjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .