Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=(x, y, z) in R^3 mid y=0, x=z

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial real e um subconjunto definido por . A gente precisa descobrir se esse subconjunto é um subespaço de . Pra isso, a gente vai usar os conceitos de subespaços vetoriais e verificar se satisfaz certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar em .
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em e somar eles, o resultado também deve estar em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor qualquer em e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se u + v = (x1 + x2, 0 + 0, z1 + z2) = (x1 + x2, 0, z1 + z2) contém o vetor zero:
O vetor zero em x1 + x2 = z1 + z2 é c cdot u = (c x, c cdot 0, c z) = (c x, 0, c z) . Vamos ver se ele está em c x = c z :
  • e , então satisfaz as condições e .
  • Portanto, o vetor zero está em .
2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer em , digamos e , onde e .
Somando e :
Como e , então:
Portanto, também satisfaz e , ou seja, .
3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em , digamos , onde , e um escalar .
Multiplicando por :
Como , então:
Portanto, também satisfaz e , ou seja, .

Resposta

Como o subconjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

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