Determine se o conjunto R^2 com as operações
c (x1, y1)+(x2, y2)=(x1 cdot x2, y1 cdot y2) alpha cdot(x1, y1)=(alpha cdot x1, alpha cdot y1)
É um espaço vetorial. E for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, indique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto R^2, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas como:
c (x1, y1)+(x2, y2)=(x1 cdot x2, y1 cdot y2) alpha cdot(x1, y1)=(alpha cdot x1, alpha cdot y1)
forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial e verificar se essas operações os satisfazem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de espaço vetorial que precisamos verificar. São eles:
  1. Comutatividade da adição: u + v = v + u
  2. Associatividade da adição: (u + v) + w = u + (v + w)
  3. Existência do elemento neutro da adição: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u
  4. Existência do inverso aditivo: Para todo u, existe -u tal que u + (-u) = 0
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: a(bu) = (ab)u
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: a(u + v) = au + av
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (a + b)u = au + bu
  8. Identidade da multiplicação por escalar: 1u = u
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

1. Comutatividade da adição
Verificamos se u + v = v + u.
Se u = (x1, y1) e v = (x2, y2), então:
u + v = (x1 cdot x2, y1 cdot y2) = (x2 cdot x1, y2 cdot y1) = v + u
Conclui: Comutatividade válida.

Passo 4

2. Associatividade da adição
Verificamos se (u + v) + w = u + (v + w).
Se u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w = (x3, y3), então:
(u + v) + w = (x1 cdot x2, y1 cdot y2) + (x3, y3) = ((x1 cdot x2) cdot x3, (y1 cdot y2) cdot y3)
u + (v + w) = (x1, y1) + (x2 cdot x3, y2 cdot y3) = (x1 cdot (x2 cdot x3), y1 cdot (y2 cdot y3))
Como a multiplicação é associativa, temos:
(x1 cdot x2) cdot x3 = x1 cdot (x2 cdot x3)
(y1 cdot y2) cdot y3 = y1 cdot (y2 cdot y3)
Conclui: Associatividade válida.

Passo 5

3. Existência do elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor 0 = (a, b) tal que para todo u = (x, y):
u + 0 = (x cdot a, y cdot b) = (x, y)
Isso implica que:
x cdot a = x Rightarrow a = 1
y cdot b = y Rightarrow b = 1
Então, o vetor neutro seria 0 = (1, 1).
Conclui: Elemento neutro da adição existe e é (1, 1).

Passo 6

4. Existência do inverso aditivo
Para cada u = (x, y), precisamos encontrar -u = (c, d) tal que:
u + (-u) = (x cdot c, y cdot d) = (1, 1)
Isso implica que:
x cdot c = 1 Rightarrow c = 1x (para x neq 0)
y cdot d = 1 Rightarrow d = 1y (para y neq 0)
Problema: Se x = 0 ou y = 0, não existe 1x ou 1y. Portanto, nem todo vetor possui inverso aditivo.
Conclui: Inverso aditivo não existe para todos os vetores. Axioma 4 não é válido.

Passo 7

5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares
Verificamos se a(bu) = (ab)u.
Se u = (x, y), então:
b u = (b x, b y)
a(b u) = (a (b x), a (b y)) = (ab x, ab y)
(ab) u = (ab x, ab y)
Conclui: Compatibilidade válida.

Passo 8

6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Verificamos se a(u + v) = a u + a v.
Se u = (x1, y1) e v = (x2, y2), então:
u + v = (x1 x2, y1 y2)
a(u + v) = (a (x1 x2), a (y1 y2)) = (a x1 x2, a y1 y2)
a u + a v = (a x1, a y1) + (a x2, a y2) = (a x1 cdot a x2, a y1 cdot a y2) = (a^2 x1 x2, a^2 y1 y2)
Comparando: a x1 x2 neq a^2 x1 x2 a menos que a = 1 ou x1 x2 = 0.
Conclui: Distributividade não é válida em geral. Axioma 6 não é válido.

Passo 9

7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Verificamos se (a + b)u = a u + b u.
Se u = (x, y), então:
(a + b)u = ((a + b) x, (a + b) y) = (a x + b x, a y + b y)
a u + b u = (a x, a y) + (b x, b y) = (a x cdot b x, a y cdot b y) = (a b x^2, a b y^2)
Comparando: a x + b x neq a b x^2 a menos que a + b = a b x e a + b = a b y, o que não é geral.
Conclui: Distributividade não é válida. Axioma 7 não é válido.

Passo 10

8. Identidade da multiplicação por escalar
Verificamos se 1u = u.
Se u = (x, y), então:
1 u = (1 cdot x, 1 cdot y) = (x, y) = u
Conclui: Identidade válida.

Resposta

Não, o conjunto R^2 com as operações dadas não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são válidos são:
  • Axioma 4: Ausência de inverso aditivo para todos os vetores.
  • Axioma 6: Falha na distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
  • Axioma 7: Falha na distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.

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