Determine se o conjunto
com as operações
É um espaço vetorial. E for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, indique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas como:
forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial e verificar se essas operações os satisfazem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de espaço vetorial que precisamos verificar. São eles:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Existência do elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Existência do inverso aditivo: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
- Identidade da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
1. Comutatividade da adição
Verificamos se
.
Se
e
, então:
Conclui: Comutatividade válida.
Passo 4
2. Associatividade da adição
Verificamos se
.
Se
,
e
, então:
Como a multiplicação é associativa, temos:
Conclui: Associatividade válida.
Passo 5
3. Existência do elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que para todo
:
Isso implica que:
Então, o vetor neutro seria
.
Conclui: Elemento neutro da adição existe e é
.
Passo 6
4. Existência do inverso aditivo
Para cada
, precisamos encontrar
tal que:
Isso implica que:
Problema: Se
ou
, não existe
ou
. Portanto, nem todo vetor possui inverso aditivo.
Conclui: Inverso aditivo não existe para todos os vetores. Axioma 4 não é válido.
Passo 7
5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares
Verificamos se
.
Se
, então:
Conclui: Compatibilidade válida.
Passo 8
6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Verificamos se
.
Se
e
, então:
Comparando:
a menos que
ou
.
Conclui: Distributividade não é válida em geral. Axioma 6 não é válido.
Passo 9
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Verificamos se
.
Se
, então:
Comparando:
a menos que
e
, o que não é geral.
Conclui: Distributividade não é válida. Axioma 7 não é válido.
Passo 10
8. Identidade da multiplicação por escalar
Verificamos se
.
Se
, então:
Conclui: Identidade válida.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são válidos são:
- Axioma 4: Ausência de inverso aditivo para todos os vetores.
- Axioma 6: Falha na distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
- Axioma 7: Falha na distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.