Para cada matriz , obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de :
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz e a gente precisa encontrar o menor conjunto de vetores que gera todas as soluções da equação . Isso está dentro da álgebra linear, especificamente no estudo de sistemas lineares homogêneos e espaços nulos. Para resolver isso, vamos precisar usar a redução de matrizes para encontrar a base desse espaço solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação como um sistema de equações lineares. A matriz é:
Então, o sistema fica:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz aumentada em uma forma mais simples, onde fica mais fácil identificar os vetores que formam a solução.
Passo 4
Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:
Passo 5
Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar a primeira linha por -1, assim:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o das demais linhas. Fazemos isso subtraindo 3 vezes a primeira linha da segunda e 2 vezes a primeira linha da terceira:
A matriz resultante fica:
Passo 7
Em seguida, somamos a terceira linha com a segunda para eliminar o :
Isso dá:
Passo 8
Agora, temos um sistema mais simples com duas equações:
Passo 9
Vamos resolver essas equações. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 10
Agora, podemos expressar a solução geral em termos de :
Resposta
O menor conjunto de vetores que gera o espaço solução de é .