Para cada matriz , obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de :
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz e a gente precisa encontrar o menor conjunto de vetores que gera todas as soluções da equação . Isso está dentro da álgebra linear, especificamente no estudo de sistemas lineares homogêneos e espaços nulos. Para resolver isso, vamos precisar usar a redução de matrizes para encontrar a base desse espaço solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação como um sistema de equações lineares. A matriz é:
Então, o sistema fica:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz aumentada em uma forma mais simples, onde fica mais fácil identificar os vetores que formam a solução.

Passo 4

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:

Passo 5

Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar a primeira linha por -1, assim:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o das demais linhas. Fazemos isso subtraindo 3 vezes a primeira linha da segunda e 2 vezes a primeira linha da terceira:
A matriz resultante fica:

Passo 7

Em seguida, somamos a terceira linha com a segunda para eliminar o :
Isso dá:

Passo 8

Agora, temos um sistema mais simples com duas equações:

Passo 9

Vamos resolver essas equações. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Agora, podemos expressar a solução geral em termos de :

Resposta

O menor conjunto de vetores que gera o espaço solução de é .

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É possível calcular um vetor t.q. e sejam linearmente independentes?
Para cada matriz , obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de :
(b)
Determine o subespaço gerado por e .