Para cada matriz A, obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de A x=0 :
(a) A=(ccc-1 & 1 & 1 3 & -1 & 0 2 & -4 & -5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz A e a gente precisa encontrar o menor conjunto de vetores que gera todas as soluções da equação A x = 0. Isso está dentro da álgebra linear, especificamente no estudo de sistemas lineares homogêneos e espaços nulos. Para resolver isso, vamos precisar usar a redução de matrizes para encontrar a base desse espaço solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação A x = 0 como um sistema de equações lineares. A matriz A é:
A = -1 & 1 & 1 3 & -1 & 0 2 & -4 & -5
Então, o sistema fica:
-1x1 + 1x2 + 1x3 = 0 3x1 -1x2 + 0x3 = 0 2x1 -4x2 -5x3 = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz aumentada em uma forma mais simples, onde fica mais fácil identificar os vetores que formam a solução.

Passo 4

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c -1 & 1 & 1 & 0 3 & -1 & 0 & 0 2 & -4 & -5 & 0 ]

Passo 5

Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar a primeira linha por -1, assim:
[ccc|c 1 & -1 & -1 & 0 3 & -1 & 0 & 0 2 & -4 & -5 & 0 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar o x1 das demais linhas. Fazemos isso subtraindo 3 vezes a primeira linha da segunda e 2 vezes a primeira linha da terceira:
Linha 2 &= Linha 2 - 3 times Linha 1 Linha 3 &= Linha 3 - 2 times Linha 1
A matriz resultante fica:
[ccc|c 1 & -1 & -1 & 0 0 & 2 & 3 & 0 0 & -2 & -3 & 0 ]

Passo 7

Em seguida, somamos a terceira linha com a segunda para eliminar o x2:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
Isso dá:
[ccc|c 1 & -1 & -1 & 0 0 & 2 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 8

Agora, temos um sistema mais simples com duas equações:
x1 - x2 - x3 = 0 2x2 + 3x3 = 0

Passo 9

Vamos resolver essas equações. Da segunda equação:
2x2 + 3x3 = 0 implies x2 = -32x3
Substituindo x2 na primeira equação:
x1 - (-32x3) - x3 = 0 implies x1 + 32x3 - x3 = 0 implies x1 = -12x3

Passo 10

Agora, podemos expressar a solução geral em termos de x3:
x = ( -12x3, -32x3, x3 ) = x3 ( -12, -32, 1 )

Resposta

O menor conjunto de vetores que gera o espaço solução de A x = 0 é ( -dfrac12, -dfrac32, 1 ) .

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