Para cada matriz , obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de :
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução da equação , onde é a matriz dada. Isso faz parte de Álgebra Linear, especificamente lidando com o espaço nulo (ou núcleo) de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar operações de linha para simplificar a matriz e encontrar as soluções para o sistema homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema :
Passo 3
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Começamos eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna).
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Passo 4
Em seguida, subtraímos a primeira linha da terceira linha para eliminar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Já temos um pivô 1 na segunda linha. Vamos usar ele para eliminar o elemento abaixo dele na terceira linha. Para isso, adicionamos 2 vezes a segunda linha à terceira linha:
Passo 6
Agora, nossa matriz está na forma escalonada. Podemos escrever as equações correspondentes:
Passo 7
Vamos resolver de baixo para cima. Da terceira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação:
Passo 8
Isso nos mostra que a única solução para o sistema é a trivial, onde todos os vetores são zero. Portanto, o espaço solução contém apenas o vetor zero.
Resposta
O menor conjunto de vetores que gera o espaço solução de é . Isso significa que a única solução é o vetor zero.