Determine o subespaço gerado por v1=(-1,1,1) e v2=(3,4,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço gerado pelos vetores v1=(-1,1,1) e v2=(3,4,4). Isso está na área de Álgebra Linear, mais especificamente trabalhando com subespaços e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar todos os vetores possíveis no subespaço gerado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado por dois vetores é formado por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser obtido multiplicando cada vetor por um escalar qualquer e somando os resultados.

Passo 3

Matematicamente, isso fica assim:
v = a cdot v1 + b cdot v2,
onde a e b são números reais. Esses escalares nos permitem “ajustar” cada vetor para gerar todos os possíveis vetores no subespaço.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de v1 e v2 na equação:
v = a cdot (-1,1,1) + b cdot (3,4,4)
Fazendo a multiplicação dos escalares:
v = (-a, a, a) + (3b, 4b, 4b)

Passo 5

Em seguida, somamos os componentes correspondentes de cada vetor:
v = (-a + 3b, a + 4b, a + 4b)
Portanto, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito dessa forma.

Resposta

O subespaço gerado pelos vetores v1=(-1,1,1) e v2=(3,4,4) é o conjunto de todos os vetores da forma (-a + 3b, a + 4b, a + 4b), onde a e b são números reais.

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